Учебно методический комплекс дисциплины ЕН. Р «Функциональный анализ» (стр. 5 )

Линейный функционал – линейный оператор, областью значений которого является вещественные числа.

Матрица Якоби – матрица-производная линейного отображения.

Метрическое пространство – пространство, в котором определено расстояние между элементами.

Наилучший элемент приближения – элемент, расстояние от которого до некоторого многообразия минимально.

Неограниченный линейный оператор – существует последовательность элементов, на которых последовательность значений оператор стремится к бесконечности.

Неотрицательный линейный оператор – оператор, порождающий положительно определенную квадратичную форму в гильбертовом пространстве.

Неподвижная точка нелинейного оператора – элемент из области определения, значение оператора на котором равно этому элементу.

Непрерывность линейного оператора – последовательность значений оператора на сходящейся последовательности из области определения сходится к значению оператора на предельном элементе.

Неравенство Бесселя – неравенство, связывающее коэффициенты ряда Фурье элемента и его норму.

Неравенство Гельдера – сумма произведения коэффициентов рядов Фурье двух элементов в гильбертовом пространстве не превосходит произведения норм этих элементов.

Неравенство Коши – Буняковского – модуль скалярного произведения двух элементов в евклидовом пространстве не больше произведения норм этих элементов.

Неравенство Минковского – неравенство «треугольника» для последовательностей и интегрируемых функции.

Нигде не плотное множество – для каждого элемента существует окрестность, в которой нет других элементов этого множества.

Норма вектора – функционал, удовлетворяющий свойствам однородности, неотрицательности и неравенству треугольника.

Норма линейного оператора – максимальное значение нормы значения оператора на единичной сфере.

Нормированное пространство – пространство, в котором введена норма.

Область значений оператора – множество, в котором оператор принимает значения.

Область определения оператора – множество, на котором задан оператор.

Обратный оператор – оператор, обратный к данному.

Ограниченность множества – существует шар конечного радиуса, в котором содержится данное множество.

Ограниченность линейного оператора – ограниченное множество переводит в ограниченное.

Ортогональная система элементов – множество попарно ортогональных элементов.

Ортогональное дополнение – совокупность всех элементов, ортогональных к данному линейному многообразию.

Ортогональное разложение – разложение гильбертова пространства на ортогональные подпространства.

Ортогональный базис – базис, состоящий из попарно ортогональных элементов.

Открытое множество – множество, каждый элемент которого является внутренним.

Плотное линейное многообразие – линейное многообразие, замыкание которого совпадает со всем пространством.

Полная ортогональная система – система попарно ортогональных элементов, линейными комбинациями которых можно представить любой элемент гильбертова пространства.

Полное линейное пространство – пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

Пополнение пространства – добавление идеальных элементов для того, чтобы все фундаментальные последовательности сходились в этом пополненном пространстве.

Предельная точка – точка, в любой окрестности которой содержится бесконечное множество элементов последовательности.

Принцип вложенных шаров – вложенные шары, радиусы которых стремятся к нулю, имеют единственную общую точку.

Принцип равномерной ограниченности – если последовательность операторов ограничена на всех элементах пространства, то она ограничена по норме.

Принцип Шаудера – о неподвижной точке вполне непрерывного оператора.

Произведение операторов – оператор, определенный как последовательное действие двух данных операторов.

Пространство Лебега – пространство функций, интегрируемых по Лебегу.

Пространство линейных операторов – множество линейных операторов, на котором определены операции сложения и умножения на число, а также норма.

Прямая сумма – совокупность пар элементов из разных множеств.

Равенство параллелограмма – сумма квадратов суммы и разности двух элементов в гильбертовом пространстве равна удвоенной сумме квадратов этих элементов.

Равенство Парсеваля – Стеклова – норма элемента гильбертова пространства равна сумме квадратов коэффициентов Фурье этого элемента.

Расстояние от точки до множества – минимальное значение нормы разности между данной точкой и элементами множества.

Расширение линейного оператора – определение оператора на множестве, содержащем в себе данную область определения.

Резольвента линейного оператора – множество регулярных точек оператора.

Ряд Фурье – разложение элементов гильбертова пространства по ортонормированной системе.

Самосопряженный оператор – оператор, совпадающий со своим сопряженным.

Сепарабельное пространство – пространство, в котором существует счетное всюду плотное множество.

Сжимающий оператор – оператор, у которого норма разности образов меньше нормы разности прообразов.

Сильная сходимость – сходимость по норме пространства.

Скалярное произведение – функционал, который удовлетворяет свойствам коммутативности, однородности, аддитивности.

Слабая компактность – из любой ограниченной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Слабая сходимость – сходимость последовательности на линейных ограниченных функционалах.

Собственное значение – число, на которое умножается соответствующий собственный вектор под действием оператора.

Собственный вектор – вектор, который под действием оператора только умножается на число.

Сопряженное пространство – пространство ограниченных линейных функционалов, определенных на заданном пространстве.

Сопряженный оператор – оператор, действующий в сопряженных пространствах.

Спектр линейного оператора – дополнение к резольвентному множеству.

Сходимость почти всюду – последовательность функций сходится во всех точках, за исключением множества меры нуль.

Теорема Арцела – критерий компактности множества непрерывных функций.

Теорема Банаха об обратном операторе – ограниченный в банаховом пространстве взаимно однозначный оператор имеет ограниченный обратный.

Теорема Банаха о замкнутом графике – замкнутый оператор в банаховом пространстве ограничен.

Теорема Банаха – Штейнгауза – о сильной сходимости последовательностей операторов.

Теорема Хана – Банаха – о продолжении линейного непрерывного функционала.

Теорема Рисса – о виде линейного функционала в гильбертовыом пространстве.

Теория Рисса – Шаудера – взаимосвязь между решениями однородного операторного уравнения, неоднородного и сопряженного.

Уравнение Лапласа – сумма вторых производных неизвестной функции по всем переменным равна нулю.

Условие Гельдера – верхняя грань отношения приращения функции к приращению аргумента ограничена на всей области определения функции.

Условие Липшица – норма разности значений операторов в некоторых двух точках пропорциональна норме разности между этими точками.

Фактор – пространство – пространство, элементами которого являются классы эквивалентности.

Фундаментальная последовательность – последовательность, бесконечная часть элементов которой принадлежит сколь угодно малой окрестности некоторой точки этой последовательности.

Функция от оператора – функция, аргументом которой является оператор.

Эквивалентные нормы – если последовательность сходится по одной норме, то сходится и по другой.

Экстремум функционала – минимальное или максимальное значение функционала.