Учебно методический комплекс дисциплины ЕН. Р «Функциональный анализ» (стр. 1 )

Новокузнецкий филиал-институт

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Кафедра математики и математического моделирования

Факультет информационных технологий

  )

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины

ЕН. Р «Функциональный анализ»

( шифр и наименование  дисциплины по рабочему учебному плану ООП) 

для специальности  (010501  Прикладная математика и информатика

( шифр и название специальности)

для _________дневной ____ формы обучения

Составитель(и) / разработчик(и) программы

, доцент, к. т.н. 

(Ф. И.О., должность и степень)

Новокузнецк

Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Лист – вкладка рабочей программы учебной дисциплины

Функциональный анализ, ЕН, региональный__

название дисциплины, цикл, компонент

Список основной учебной литературы

*Указания о контроле на момент переутверждения программы	Сведения об учебниках	Соответствие ГОС (для федеральных дисциплин) или соответствия требованиям ООП (для региональных и вузовских) - указание на недостаточно отраженные в учебнике разделы	Количество экземпляров в библиотеке на момент переутверждения программы
Дата	Внесение, продление или исключение / Подпись отв. за метод работу	Наименование, гриф	Автор	Год издания
1	2	3	4	5	6	7
Внесение	1. Функциональный анализ : Учебник. - 3-е изд., испр. - М. : Физматлит, 2002. - 488с. - Гриф МО "Рекомендовано". 2. Задачи и упражнения по функциональному анализу : Учебное пособие для вузов - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Физматлит, 2002. - 240с. - Гриф МО "Рекомендовано".		2002 2002	Соответствует Соответствует	35 35

Содержание

1  Рабочая программа учебной дисциплины        4

1.1 Пояснительная записка        4

1.2 Учебно – тематический план        5

1.3 Содержание курса        6

1.4 Требования к уровню освоения программы        .8

1.5 Учебно – методическое обеспечение дисциплины……..……..……………10

1.5.1 Основная и дополнительная учебная литература…………………….10

1.5.2 Методические рекомендации для преподавателей………………….. 11

1.5.3 Методические указания студентам ……………………………………12

1.5.3.1 Общие указания (пояснительная записка)………………..............12

1.5.3.2 Темы семинарских занятий        15

1.5.3.3 Указания по выполнению самостоятельных работ        16

1.5.3.4 Указания по оформлению работ        22

1.6 Формы текущего, промежуточного и итогового контроля        23

1.7 Организация самостоятельной работы студентов        24

2  Тематика и перечень контрольных  (самостоятельных) работ, заданий и задач        25

3  Тесты для промежуточного контроля знаний        34

4  вопросы и задачи для экзамена………………………………….  65

5  Глоссарий        73

1.1 Пояснительная записка

Дисциплина «Функциональный анализ» для студентов специальности 010501 «Прикладная математика и информатика» входит в состав Государственного образовательного стандарта высшего профессионального  образования (ГОС ВПО). Ее место – в ряду общих математических и естественнонаучных дисциплин федерального компонента учебного плана. Она является составной частью общей цели ООП – подготовить высококвалифицированных специалистов – математиков для работы в отраслях народного хозяйства, научных и учебных заведениях соответствующего профиля.

Цель курса – дать студентам базовые понятия функционального анализа, которые в последующем можно использовать в прикладных исследованиях, в частности, для доказательства существования решений дифференциальных уравнений при обосновании численных методов.

Для этого необходимо обеспечить уровень подготовки студентов по функциональному анализу таким, чтобы они умели:

устанавливать сходимость последовательностей в функциональных метрических пространствах; проверять выполнение аксиом скалярного произведения при построении евклидовых пространств; доказывать ограниченность линейных операторов, действующих в функциональных пространствах; применять понятия сильной и слабой сходимости для получения обобщенных решений дифференциальных уравнений; давать оценки спектрального радиуса линейного оператора; использовать принцип неподвижной точки при решении дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Студенты должны знать:

метрические линейные и нормированные пространства; бесконечномерные полные гильбертовы пространства; линейные операторы и условия их обратимости; ограниченные функционалы и сопряженные пространства; элементы спектральной теории линейных операторов; принцип неподвижной точки для нелинейных операторов; основы теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Курс функционального анализа для студентов специальности 020400 «Прикладная математика и информатика» читается в течение 5-го семестра, после изучения базовых дисциплин: математического анализа, линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Ввиду сокращенного объема лекций, в курс включены лишь основные понятия, являющиеся предметом изучения функционального анализа.

Особенностью курса функционального анализа для будущих прикладных математиков является его прикладной характер: изучение большинства тем закрепляется решением соответствующих задач связанных с дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах и оценками линейных операторов в гильбертовых пространствах.

1.2 Учебно-тематический план

№ п\п	Объем часов
Название и содержание разделов, тем	Всего	аудиторная работа	самост. работа
лекции	практ. занятия
1	2	3	4	5	6
1	Линейные нормированные функциональные пространства	3	6	10
2	Банаховы и гильбертовы пространства	2	4	8
3	Пространство линейных операторов	2	4	10
4	Функционалы и сопряженное пространство	2	4	8
5	Компактные множества и вполне непрерывные операторы	2	4	8
6	Элементы спектральной теории линейных операторов	2	4	8
7	Теоремы о неподвижных точках операторов	2	4	8
8	Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах	2	4	9
Всего по дисциплине «Функциональный анализ»	120	17	34	69

1.3 Содержание курса

Функциональный анализ (5-й семестр)

Тема 1 –Линейные нормированные функциональные пространства. Вводится понятие метрики, необходимое для определения предела последовательностей в функциональных пространствах. Приводятся примеры основных нормированных пространств и анализируется эквивалентность вводимых норм в бесконечномерных пространствах с точки зрения сходимости фундаментальных последовательностей.

Тема 2 – Банаховы и гильбертовы пространство. Понятия полноты и определение банаховых пространств. Евклидовы пространства, способы введения скалярного произведения. Гильбертовы пространства, ортонормированные системы и разложение в ряд Фурье. Соболевские пространства обобщенных функций как результат пополнения множества интегрируемых функций.

Тема 3 – Пространство линейных операторов. Общее понятие оператора. Линейные операторы, образ и прообраз. Непрерывность и ограниченность линейных операторов. Нормированное пространство линейных операторов. Условия существования обратного оператора. График оператора, теорема о замкнутом операторе.

Тема 4 – Функционалы и сопряженное пространство. Понятия линейного ограниченного функционала. Сопряженное пространство и слабая сходимость. Теорема Хана – Банаха и ее следствия. Линейные функционалы в гильбертовых пространствах, теорема Рисса. Сопряженные и самосопряженные операторы.

Тема 5 – Компактные множества вполне непрерывные операторы. Компактные множества в нормированных пространствах. Теорема Хаусдорфа и теорема Асколи – Арцела. Линейные вполне непрерывные операторы. Нормально разрешимые операторы и теоремы Фредгольма. Линейные уравнения с точки зрения вычислений.

Тема 6 – Элементы спектральной теории линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Резольвентное множество и спектр линейного оператора. Спектральное разложение САмосопряженного оператора.