3. Критерий компактности Хаусдорфа.
4. Компактность и конечномерность.
5. Линейные вполне непрерывные операторы.
6. Теорема Арцела. Слабая компактность.
7. Вполне непрерывные операторы и слабая сходимость.
8. Нормально разрешимые операторы.
9. Теорема Шаудера и примеры вполне непрерывных операторов.
10. Альтернатива Фредгольма.
Контрольная работа №6
Контрольные вопросы и задачи
1. Собственные значения линейных операторов.
2. Собственные векторы линейных операторов.
3. Резольвентное множество и спектр линейных операторов.
4. Спектральное разложение самосопряженных операторов.
5. Линейная независимость собственных векторов.
6. Собственные векторы в конечномерных пространствах.
7. Собственные значения вполне непрерывного оператора.
8. Собственные значения самосопряженного оператора.
9. Спектральный радиус линейного оператора.
10. Теорема Гильберта – Шмидта о разложении.
Контрольная работа №7
Контрольные вопросы и задачи
1. Принцип сжимающих отображений.
2. Принцип Шаудера. Примеры.
3. Дифференцирование нелинейных операторов.
4. Производная оператора в конечномерном пространстве.
5. Формула конечных приращений Лагранжа.
6. Определение условия Липшица.
7. Степенные операторные ряды.
8. Неподвижные точки нелинейного оператора.
9. Линейные системы дифференциальных уравнений.
10. Последовательности, сходящиеся к неподвижной точке.
Контрольная работа №8
Контрольные вопросы и задачи
1. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.
2. Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
3. Простейшие разностные схемы.
4. Итерационный метод Ньютона.
5. Задача Коши для дифференциального уравнения.
6. Применение схемы Галеркина.
7. Разностные схемы в банаховых пространств.
8. Метод малого параметра.
9. Априорные оценки решений.
10. Неоднородная задача Коши.
3 ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ знаний
Тесты используются для текущего контроля знаний студентов перед аттестацией. Они разделены на 2 комплекса (по числу семестров, в которых изучается математика). В тесты включены задания по полусеместровым лекционным материалам.
Каждому из студентов на 2 академических часа дается 10 из предложенных 200 задач, выбираемых случайным образом. За правильное решение 75% задач ставится оценка 2 (высшая аттестационная), за решение более 50% задач – ставится 1, менее 50% - 0.
4 вопросы и задачи для экзамена и зачета
4.1 Контрольные вопросы
1. Линейные пространства, определения, примеры.
2. Нормированные пространства, определения, примеры.
3. Сходимость в нормированных пространствах.
4. Критерий Коши для последовательностей.
5. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
6. Линейная зависимость и независимость.
7. Линейные многообразия и подпространства.
8. Размерность линейного пространства.
9. Пространство непрерывных функций.
10. Изоморфизм линейных пространств.
11. Банаховы пространства, определения, примеры.
12. Пространства со скалярным произведением, определения, примеры.
13. Гильбертовы пространства, определения, примеры.
14. Пополнение пространств со скалярным произведением.
15. Пространства интегрируемых функций.
16. Пространства Соболева, определения, примеры.
17. Ортонормированные системы. Ряд Фурье.
18. Фундаментальны последовательности. Сепарабельность.
19. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы.
20. Расстояние от точки до подпространства.
21. Линейные операторы, определения, примеры.
22. Замкнутость и ограниченность линейных операторов.
23. Пространства линейных операторов, определения, примеры.
24. Обратные операторы, определения, примеры.
25. Интегральные операторы в пространствах функций.
26. Последовательности линейных операторов. Сходимость.
27. Операторы в пространствах дифференцируемых функций.
28. Равномерная и сильная сходимость линейных операторов.
29. Ряды линейных операторов.
30. График оператора, замкнутые операторы.
31. Сопряженные пространства.
32. Теорема Хана-Банаха и ее следствия.
33. Сопряженные и самосопряженные операторы.
34. Сильная и слабая сходимость в сопряженных пространствах.
35. Линейный ограниченный функционал и его норма.
36. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов.
37. Теорема Рисса о виде функционала в гильбертовом пространстве.
38. Продолжение линейного функционала.
39. Слабая сходимость в нормированных пространствах.
40. Оператор ортогонального проектирования.
41. Компактные множества в нормированных пространствах.
42. Компактность и ограниченность.
43. Критерий компактности Хаусдорфа.
44. Компактность и конечномерность.
45. Линейные вполне непрерывные операторы.
46. Теорема Арцела. Слабая компактность.
47. Вполне непрерывные операторы и слабая сходимость.
48. Нормально разрешимые операторы.
49. Теорема Шаудера и примеры вполне непрерывных операторов.
50. Альтернатива Фредгольма.
51. Собственные значения линейных операторов.
52. Собственные векторы линейных операторов.
53. Резольвентное множество и спектр линейных операторов.
54. Спектральное разложение самосопряженных операторов.
55. Линейная независимость собственных векторов.
56. Собственные векторы в конечномерных пространствах.
57. Собственные значения вполне непрерывного оператора.
58. Собственные значения самосопряженного оператора.
59. Спектральный радиус линейного оператора.
60. Теорема Гильберта – Шмидта о разложении.
61. Принцип сжимающих отображений.
62. Принцип Шаудера. Примеры.
63. Дифференцирование нелинейных операторов.
64. Производная оператора в конечномерном пространстве.
65. Формула конечных приращений Лагранжа.
66. Определение условия Липшица.
67. Степенные операторные ряды.
68. Неподвижные точки нелинейного оператора.
69. Линейные системы дифференциальных уравнений.
70. Последовательности, сходящиеся к неподвижной точке.
71. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.
72. Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
73. Простейшие разностные схемы.
74. Итерационный метод Ньютона.
75. Задача Коши для дифференциального уравнения.
76. Применение схемы Галеркина.
77. Разностные схемы в банаховых пространств.
78. Метод малого параметра.
79. Априорные оценки решений.
80. Неоднородная задача Коши.
5 глоссарий
для изучения дисциплины «Функциональный анализ» студентами
специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»
Абсолютная сходимость ряда – сходимость ряда составленного из абсолютных величин (или норм) элементов.
Априорная оценка – оценка решения дифференциального уравнения, которое еще не найдено.
Базис линейного пространства – максимальная система линейно независимых векторов.
Банахово пространство – пространство, в котором все фундаментальные последовательности сходятся.
Бесконечномерное линейное пространство – для любого множества линейно независимых элементов найдется еще один, независимый от имеющихся.
Взаимно однозначный оператор – каждому образу операора соответствует единственный прообраз и наоборот.
Вполне непрерывный оператор – переводит замкнутый шар в компактное множество.
Гильбертово пространство – полное нормированное пространство со скалярным произведением.
График оператора – графиком оператора F называется совокупность пар {x, F(x)} на всей области определения.
Дифференциальный оператор – оператор, содержащий операцию дифференцирования.
Евклидово пространство – пространство со скалярным произведением.
Задача Дирихле – краевая задача для уравнения Пуассона.
Задача Коши – дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями.
Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки.
Замкнутый оператор – если его график является замкнутым множеством.
Замыкание множества – присоединение вех предельных точек, не принадлежащих множеству.
Изометрия нормированных пространств – изоморфизм двух пространств с сохранением норм.
Изоморфизм – взаимно – однозначное соответствие с сохранением операций.
Интеграл Лебега – интеграл, как предел интегральных сумм, образованных разбиением области изменения функции.
Интеграл Римана – интеграл, как предел интегральных сумм, образованных разбиением области определения функции.
Интегральный оператор – оператор, определяемый интегралом, в котором выделено ядро, как функция двух переменных.
Интерполяционный сплайн – приближение с помощью кусочно – полиномиальной функции, обладающей определенной гладкостью.
Компактное множество – множество, в котором из ограниченного множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Конечная е – сеть – конечное множество элементов, в сколь угодно малых окрестностях которых содержатся все элементы множества.
Конечномерное линейное пространство – пространство с конечным базисом.
Координаты вектора – числовые коэффициенты при разложении вектора по базису.
Коэффициенты Фурье – числовые коэффициенты ряда Фурье в гильбертовом пространстве.
Критерий компактности Хаусдорфа – множество компактно тогда и только тогда, если существует конечная е – сеть.
Линейная зависимость элементов – любой из элементов можно выразить линейной комбинацией через остальные.
Линейная комбинация – сумма элементов, умноженных на скаляры.
Линейное многообразие – множество всех линейных комбинаций некоторых элементов.
Линейное подпространство – подмножество линейного пространства, обладающее всеми его свойствами.
Линейное пространство – множество элементов, на которых определены операции сложения и умножения на скаляр и удовлетворяющее некоторым аксиомам.
Линейный оператор – оператор, определенный на линейном многообразии, который линейной комбинации прообразов ставит в соответствие линейную комбинацию образов.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
