Семестровые работы должны быть выполнены не позднее, чем за неделю до начала зачетной недели. Выполненная работа сдается лектору или ассистенту, ведущему практические занятия.
1.5.3.4 Указания по оформлению работ
Порядок оформления самостоятельных работ по функциональному анализу следующий:
- работы выполняются на листах формата А4, скрепляются и помещаются в мультифору;
- на титульном листе указываются: номер самостоятельной работы, номер группы, фамилия и имя студента, номер варианта;
- каждый из вопросов и задач формулируется в соответствии с заданием и нумеруется;
- зачеркивания и исправления допускаются (в пределах приличий).
Проверка самостоятельных работ осуществляется в течение недели. Зачтенные работы не возвращаются; работы, нуждающиеся в корректировке – возвращаются студенту. После доработки проверка работ повторяется.
Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся консультации, о времени которых группы извещаются заранее. Кроме того, в НФИ КемГУ существует практика индивидуально-аудиторных занятий по выполнению самостоятельных работ, при которой студентам назначается аудитория и время, где и когда они могут выполнять работы в присутствии ассистентов или студентов старших курсов, дающих им консультации.
1.6 Формы текущего, промежуточного и итогового контроля
Текущий контроль освоения программы осуществляется по результатам выполнения студентами контрольных (самостоятельных) работ, а также выполнения заданий на семинарских занятиях. Студенты выполняют 4 самостоятельных работы.
График выполнения самостоятельных работ формируется исходя из следующих требований:
- к началу экзаменационной сессии каждый студент обязан выполнить все самостоятельные работы, предусмотренные программой курса;
- к началу аттестации студент обязан выполнить те самостоятельные работы, которые предусмотрены в уже пройденных темах по дисциплине.
Промежуточный контроль освоения программы осуществляется в форме тестирования во время аттестации студентов. Тесты для промежуточного контроля приведены в разделе 3. Суммарное количество задач в тестах – 200. Компьютер с помощью метода случайных испытаний, выбирает каждому студенту 10 из них (для соответствующего семестра).
Итоговый контроль осуществляется в форме экзамена. Вопросы и задачи для экзаменов и зачета приведены в разделе 4. Из них формируются экзаменационные билеты. На экзамен студентам предлагается по два теоретических вопроса и задача.
При сдаче экзамена каждая позиция (вопрос, задача) оцениваются баллами:
3 балла – решение правильное;
2 балла – решение правильное, но с недочетами;
1 балл – путь решения правильный;
0 балл – решение неправильное, или отсутствует.
При сдаче экзамена можно получить в сумме от нуля до 9 баллов. Предварительная оценка «отлично» на экзамене считается, если количество набранных баллов - от 8 до 9, «хорошо» - от 6 до 7, «удовлетворительно» - от 4 до 5 баллов.
Конечная оценка, которая ставится в ведомость и студенту - в зачетку, зависит и от его работы в течение семестра, т. е., результатов промежуточной аттестации. В случае претензий к оценке знаний студентам предлагается ознакомиться с ее критериями (см. выше).
Примечание. Студентам, получившим 0 баллов по аттестации или при явной пассивности на практических занятиях, дается дополнительная задача.
1.7 Организация самостоятельной работы студентов
Каждый студент обязан в течение двух недель после окончания очередной темы сдать соответствующую работу на проверку ассистенту или лектору. «Работа над ошибками» проводится во время еженедельных консультаций, назначаемых на кафедре. График организации самостоятельной работы студентов представлен ниже.
График организации самостоятельной работы студентов-математиков по дисциплине «Функциональный анализ»
Раздел, тема | Кол-во самост. Заданий | Кол-во заданий к аттестации | Срок выполнения | Объем часов |
5 семестр: | ||||
Функциональные пространства. | 2 практ. | Сентябрь | 4 | |
Гильбертовы пространства. | 2 практ. | Сентябрь | 4 | |
Линейные операторы. | 2 практ. | Октябрь | 4 | |
Линейные функционалы. | 2 практ. | Октябрь | 4 | |
Компактные множества. | 2 практ. | Ноябрь | 4 | |
Спектральная теория. | 2 практ. | Ноябрь | 4 | |
Неподвижные точки. | 2 практ. | Декабрь | 4 | |
Операторные уравнения. | 2 практ. | Декабрь | 4 | |
Итого: | 32 |
2 Тематика и перечень самостоятельных СЕМЕСТРОВЫХ заданий
Тема 1 –Линейные нормированные функциональные пространства. Вводится понятие метрики, необходимое для определения предела последовательностей в функциональных пространствах. Приводятся примеры основных нормированных пространств и анализируется эквивалентность вводимых норм в бесконечномерных пространствах с точки зрения сходимости фундаментальных последовательностей.
Тема 2 – Банаховы и гильбертовы пространства. Евклидовы пространства, способы введения скалярного произведения. Понятия полноты и определение банаховых пространств. Гильбертовы пространства, ортонормированные системы и разложение в ряд Фурье. Соболевские пространства обобщенных функций как результат пополнения множества интегрируемых функций.
Тема 3 – Пространство линейных операторов. Общее понятие оператора. Линейные операторы, образ и прообраз. Непрерывность и ограниченность линейных операторов. Нормированное пространство линейных операторов. Условия существования обратного оператора. График оператора, теорема о замкнутом операторе.
Тема 4 – Функционалы и сопряженное пространство. Понятия линейного ограниченного функционала. Сопряженное пространство и слабая сходимость. Теорема Хана – Банаха и ее следствия. Линейные функционалы в гильбертовых пространствах, теорема Рисса. Сопряженные и самосопряженные операторы.
Тема 5 – Компактные множества вполне непрерывные операторы. Компактные множества в нормированных пространствах. Теорема Хаусдорфа и теорема Асколи – Арцела. Линейные вполне непрерывные операторы. Нормально разрешимые операторы и теоремы Фредгольма. Линейные уравнения с точки зрения вычислений.
Тема 6 – Элементы спектральной теории линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Резольвентное множество и спектр линейного оператора. Спектральное разложение Самосопряженного оператора.
Тема 7 – Теоремы о неподвижных точках операторов. Нелинейные операторные уравнения. Степенные операторные ряды. Принцип сжимающий отображений. Итерационный процесс Ньютона. Принцип Шаудера и его применение.
Тема 8 –Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Понятие обобщенных решений краевых задач. Существование решения, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных и правой части. Простейшие разностные схемы, их устойчивость и сходимость.
Контрольная работа №1 Контрольные вопросы1. Линейные пространства, определения, примеры.
2. Нормированные пространства, определения, примеры.
3. Сходимость в нормированных пространствах.
4. Критерий Коши для последовательностей.
5. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
6. Линейная зависимость и независимость.
7. Линейные многообразия и подпространства.
8. Размерность линейного пространства.
9. Пространство непрерывных функций.
10. Изоморфизм линейных пространств.
Задачи
Контрольная работа №2 Контрольные вопросы и задачи
1. Банаховы пространства, определения, примеры.
2. Пространства со скалярным произведением, определения, примеры.
3. Гильбертовы пространства, определения, примеры.
4. Пополнение пространств со скалярным произведением.
5. Пространства интегрируемых функций.
6. Пространства Соболева, определения, примеры.
7. Ортонормированные системы. Ряд Фурье.
8. Фундаментальны последовательности. Сепарабельность.
9. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы.
10. Расстояние от точки до подпространства.
Контрольная работа №3
Контрольные вопросы и задачи
1. Линейные операторы, определения, примеры.
2. Замкнутость и ограниченность линейных операторов.
3. Пространства линейных операторов, определения, примеры.
4. Обратные операторы, определения, примеры.
5. Интегральные операторы в пространствах функций.
6. Последовательности линейных операторов. Сходимость.
7. Операторы в пространствах дифференцируемых функций.
8. Равномерная и сильная сходимость линейных операторов.
9. Ряды линейных операторов.
10. График оператора, замкнутые операторы.
Контрольная работа №4
Контрольные вопросы и задачи
1. Сопряженные пространства.
2. Теорема Хана-Банаха и ее следствия.
3. Сопряженные и самосопряженные операторы.
4. Сильная и слабая сходимость в сопряженных пространствах.
5. Линейный ограниченный функционал и его норма.
6. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов.
7. Теорема Рисса о виде функционала в гильбертовом пространстве.
8. Продолжение линейного функционала.
9. Слабая сходимость в нормированных пространствах.
10. Оператор ортогонального проектирования.
Контрольная работа №5
Контрольные вопросы и задачи
1. Компактные множества в нормированных пространствах.
2. Компактность и ограниченность.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
