План-конспект урока
«Арифметические и геометрические прогрессии»
, учитель математики
Цели урока:
- обобщить и систематизировать знания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;
- сформировать умение устанавливать четкую грань между арифметической и геометрической прогрессиями;
- развивать навыки применения основных формул в ходе решения различных задач;
- развивать самостоятельность в мышлении и в учебной деятельности, формировать познавательный интерес;
- учить ставить цели и находить пути достижения этих целей;
- учить видеть связь математики с жизнью;
- познакомиться с историческим материалом;
- воспитывать уважительное отношение к товарищам.
Ожидаемые результаты:
- предметные умения: повторение теоретического материала и формул по данной теме; формирование знаний и умений по изучаемому материалу;
- личностные УУД: формирование навыков анализа, контроля и оценки действий, устойчивой мотивации к обучению;
- регулятивные УУД: определение цели учебной деятельности, осуществление поиска средств её достижения, умение выполнять действия по алгоритму;
- познавательные УУД: умение переводить жизненные ситуации на язык математики, умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме;
- коммуникативные УУД: регулирование собственной деятельности посредством речевых действий, владение монологической речью, умение отвечать на поставленные вопросы.
Коррекционная составляющая урока:
- наглядность и использование опор;
- многократность повторения;
- развитие зрительно-слухового внимания;
- автоматизация произношения терминов со сложной слоговой структурой.
Тип урока: урок обобщения и закрепления знаний по изученной теме.
Принципы обучения:
- научность;
- системность и последовательность;
- наглядность;
- комфортность.
Методы обучения: проблемный, индивидуальный, фронтальный, словесно-наглядный.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, мультимедийная презентация.
Оборудование: опоры, карточки с заданиями.
Учебник: «Алгебра. 9 класс»: учебник для общеобразовательных учреждений/ [, , ]; под ред. . – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2012.
Ход урока
Оргмомент. Сегодня на нашем уроке присутствуют гости и мы должны показать себя с лучшей стороны. Настраиваемся на активную работу. Что изучали мы на предыдущих уроках?
Ученик. Мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии.
Учитель. Именно на две команды с такими названиями я поделила класс. И сегодня на уроке мы будем работать не только индивидуально, но и в группах.
Проверка домашнего задания. Начнем с проверки домашнего задания. Возьмите конверт с №1 и раздайте его содержимое членам команды.Й | А | О | П | М | Д |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 50 |
Впишите в верхний ряд пустой таблицы ответы, полученные в заданиях домашней работы, а в нижний ряд таблицы соответствующие буквы из верхней таблицы. Если вы все выполнили правильно, то вы получите фамилию автора следующего высказывания.
Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах, или игре на фортепиано: научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.
Итак, какую фамилию вы получили?
Ученик. Я получил Д. Пойа.
Учитель. Правильно. Дьёрдь Помйа — венгерский, швейцарский и американский математик. Автор книг по математике. Я хочу, чтобы вы помнили эти слова, и не отчаивались, когда что-то не получается, а продолжали тренироваться.
3.Устное упражнение « Найди прогрессию».
2 | 4 | 8 | 16 |
0 | 4 | 6 | 14 |
- 2 | 4 | - 8 | 16 |
- 4 | 4 | 2 | 10 |
Команда «Арифметическая прогрессия» ищет прогрессии по строкам, команда «Геометрическая прогрессия» ищет прогрессии по столбцам.
Ребята находят прогрессии и обосновывают свой выбор.
Учитель. Ребята, как вы думаете, важно отличать одну прогрессию от другой? Почему сначала нужно определить вид прогрессии, а потом уже переходить к решению задачи.
Ученики обосновывают данное высказывание.
Учитель. Давайте вместе сформулируем цели урока.
Ученики совместно формулируют цели урока.
- Обобщить и систематизировать знания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Уметь распознавать прогрессии. Закрепить формулы. Уметь использовать их при решении различных задач.
4.Вспомним теорию.
- Какую последовательность мы называем арифметической? Свойство арифметической прогрессии. Формула разности и n–ого члена арифметической прогрессии. Какую последовательность мы называем геометрической? Свойство геометрической прогрессии. Формула разности и n–ого члена геометрической прогрессии.
Учащиеся дают определения и пишут формулы.
Учитель. Возьмите конверт №2 и карточки из конверта распределите в 2 колонки, в 1 столбик поместите все, что связано с арифметической прогрессией, во 2 столбик - все, что связано с геометрической прогрессией.
Учащиеся выполняют задание, работая в группе. Представители обеих команд вывешивают на доске отобранные формулы. Ошибки исправляются.
5.Путешествие в историю.
Учитель. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. А сейчас послушайте сообщение одноклассников из истории прогрессии.
1 ученик. Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.
На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н. э.)
Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н. э.).
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении Леонардо Пизанского «Книга абака» в 1202г. В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий.
Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:
сумму n натуральных чисел; сумму n четных чисел.
Древние египтяне знали прогрессии, вот задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».
2 ученик. Всем известна задача-легенда. Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?
Если произвести расчет, то получится число 18 446 744 073 709 551 615 . Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
6. Решение задач.
Задача 1. При свободном падении тело прошло за 1 секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найти глубину колодца, если свободно падающее тело достигло дна через 6 секунд после падения.
- О какой прогрессии идет речь в этой задаче?
- Какие слова подтверждают ваше предположение?
- Что надо найти в этой задаче?
- Как применительно к задаче мы можем охарактеризовать сумму шести членов?
Ученик у доски решает задачу.
Учитель. Как можно решить эту задачу с помощью формул по физике?
Задача разбирается и устно решается. Ответ получается тот же. Делается вывод. Следующую задачу нам инсценируют ученики 6 класса. Задача называется «Купец и глупец».
Купец. Послушай, жена, на базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.
Жена. Какую?
Купец. Он каждый день будет приносить мне по 100 000 рублей, а я ему в 1-ый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100000 рублей! Во 2-ой день – 2 копейки; в 3-ий – 4 коп., и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить каждый день по 100000 рублей.
Жена. Откуда у этого глупца столько денег?
Купец. Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на один месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.
/ Раздаётся стук в дверь. Жена выглядывает в окно./
Жена. Там кто-то пришёл.
Купец. (Выглядывает в окно) Это он!
Входит мужик.
Мужик. Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку!
Взяв свою копейку уходит.
Купец. Как я боялся, что он не придёт. А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?
Жена. Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что поймёт завтра. Говорят же: «Если дурак, то надолго».
Купец. Так-то оно так, да всё равно боязно.
Ведущий. Каждый день мужик приносил по 100000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. А потом …
Купец. О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп. Ведь он отдал мне всего … миллиона, а получил от меня … миллионов рублей! Какой я глупец! разве можно было заключать сделки на базаре!
Ведущий. Как неожиданны бывают результаты, когда не знаешь математики! Ребята, подсчитайте сколько денег отдал « глупец» купцу и сколько отдал купец «глупцу».
Ученик у доски решает задачу. Идет стадия осмысления данной задачи.
7.Учитель. Об использовании прогрессий в литературе, технике, быту, расскажет Ларионов Михаил.
Прогрессии в литературе. Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из "Евгения Онегина".
...Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить...
Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...
Примеры. Ямб:
Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»
Прогрессия: 2; 4; 6; 8…
Хорей:
«Я пропАл, как звЕрь в загОне»
Прогрессия: 1; 3; 5; 7...
Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий.
1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.
2) Геометрия. Площади вписанных друг в друга правильных треугольников образуют геометрическую прогрессию.
3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т. д. – это геометрическая прогрессия.
4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
5)Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии (проценты капитализируются).
8. Самостоятельная работа в группе.
Учитель. А теперь нам предстоит выполнить самостоятельную работу в группах. Взяли из конверта №3 тексты задач и решаем. Но сначала обсудите план решения задачи и наметьте путь ее решения.
Команда 1. Задача для самостоятельной работы.
В сборнике по подготовке к экзаменам – 240 задач. Ученик начинает их решение 2 мая, а планирует закончить 16 мая, решая каждый день на 2 задачи больше, чем в предыдущий день.
Сколько задач ученик должен решить в самый первый день, чтобы уложиться в намеченные сроки.
2 команда. Задача для самостоятельной работы.
Ежегодный доход по вкладу «Пенсионный» составляет 8%.
Каким станет вклад через 4 года, если первоначальный составлял 10 000 рублей? Вклад ежегодно капитализируется.
Ученики решают задачи, работая в группе, ответы обсуждаются.
Учитель. Задачи на прогрессию были известны и в России очень давно.
Во времена Петра I была учреждена математико-навигационная школа. – лучший математик Москвы был назначен учителем школы. Им был написан учебник «Арифметика», в котором были собраны очень интересные задачи. Послушайте одну из них, которую представит нам наш ученик Шилов Максим.
Ученик. Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:
"Если по-твоему цена лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т. д.“
Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. В какую сумму обойдется покупка лошади.
Максим представляет решение задачи. Ответ 42 тысячи рублей придется заплатить в этом случае за подковные гвозди. Ответ обсуждается.
Учитель. Для домашней работы откройте конверт №4 .
Задание для домашней работы.
Курс солнечных ванн начинают с 15 минут и увеличивают время этой процедуры в каждый последующий день на 10 минут. Сколько дней нужно принимать солнечные ванны в указанном режиме, чтобы их продолжительность составила 1 час 45 минут.
9. Рефлексия.
Трудно ли было вам работать на уроке?
Что было особенно трудно?
Интересно ли было на уроке?
Что больше всего понравилось?
Как бы вы оценили свою работу на уроке?
10. Итог урока. Давайте подведем итоги урока.
- Нужно ли знать прогрессии? Зачем?
- Что нового узнали на уроке?
- Что понравилось вам?
Учитель. Зная формулы арифметической и геометрической прогрессий, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания. Закончить урок хочется стихотворением:
Закончился двадцатый век.
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря,
Строенье звезд и вся земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг
«Прогрессия – движение вперед».
