Вопросы к экзамену по геометрии (2 семестр, 2016/2017

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ (2 СЕМЕСТР, 2016/2017)

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Предел и непрерывность векторной функции скалярного аргумента. Производная векторной функции и ее свойства. Формула Тейлора. Векторная функция постоянной длины и векторная функция постоянного направления. Теоремы. Интеграл от векторной функции. Векторная функция нескольких аргументов. Простая кривая. Понятие кривой. Регулярная кривая. Касательная к кривой. Нормальная плоскость кривой. Соприкасающаяся плоскость кривой. Спрямляющая плоскость кривой. Главная нормаль. Бинормаль. Длина дуги кривой. Естественная параметризация. Кривизна кривой. Кручение кривой. Сопровождающий трехгранник кривой. Формулы Френе. Взаимное расположение кривой и граней сопровождающего трехгранника. Натуральные уравнения кривой. Теорема. Неявное уравнение плоской кривой. Огибающая однопараметрического семейства плоских кривых. Простая поверхность. Понятие поверхности. Регулярная поверхность. Касательная прямая к поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности. Кривизна нормального сечения.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

Линейное подпространство. Операции над множествами. Сопряженное множество. Сопряженное подпространство. Леммы. Линейная оболочка множества. Теорема о размерности суммы двух линейных подпространств. Построение суммы и пересечения линейных подпространств. Системы линейных уравнений. Теорема о множестве решений однородной системы. Следствия. Теорема о существовании решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (об альтернативе). Ее геометрическая интерпретация. Многомерные плоскости. Параметрическое и общее (неявное) уравнения. Взаимосвязь между ними. Сумма и пересечение многомерных плоскостей. Взаимное расположение многомерных плоскостей. Плоскости минимальной размерности. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множеств. Теорема. Следствие. Выпуклые многогранники. Теорема. Выпуклые конусы. Алгебра выпуклых конусов. Коническая оболочка множеств. Теорема. Следствие. Отделимость выпуклых множеств. Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о неотрицательных решениях систем линейных уравнений (об альтернативе). Конечные конусы. Теорема двойственности. Теорема о неявном уравнении конечного конуса. Алгебра конечных конусов. Крайние векторы выпуклых конусов. Лемма. Теорема о конечном заостренном конусе. Выпуклые многогранные множества. Теорема о размерности многогранного множества. Выпуклый многогранный конус. Грани многогранного множества. Теорема о вершине многогранного множества. Характеристика крайних решений (теорема). Параметрические уравнения многогранного множества (регулярный случай). Теорема о представлении выпуклого многогранного множества (общий случай).