2. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв. Если существует придел 
, то интегралы
и 
сходятся или расходятся одновременно.
11) Теоремы сравнения.
(1)
, f и g непрерывны в [a, b], за исключ т С
Если сх (1), то сх и (2)
(1)
(2) 
(2) расх, то и (1) расх
(2) 
Если 
, то (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно
12) Несобственный интеграл( общий случай)
Точки 
-точки разрыва f(x)
Для того, чтобы сходился этот интеграл, необходимо, чтобы сходились:
Тот интеграл равен сумме интегралов.
13) Примеры применения определенных интегралов.
Вычисление площадей плоских фигур S=
или S= 
, доказывается легко по определению определенного интеграла. Площадь плоской фигуры ограниченной двумя функциями как на рисунке ищется по формуле
S=
-
=
Доказывается легко площадь искомой фигуры можно получить путём вычитания из площади трапеции образованной верхней функцией, площади трапеции образованной нижней функцией.
S=
Если кривая задана параметрически 
В полярных координатах площадь криволинейного сектора S=
Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты: Под длиной дуги AB принимается придел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего её звена стремиться к нулю.
Если заданно параметрически то 
Полярные координаты: 
Объем тела: 
Объем тела вращения: 
14) Интегралы от четных и нечетных функций, на симметричных приделах интегрирования
Если f(x) четная функция от f(-x)=f(x). Так как 
, а
Т. е. 
Если f(x) нечетная функция то f(-x)=-f(x) Так как 
, а
Т. е. 
15) Гамма-функция, бета-функция:
1) Гамма-функция – функция вида 
(р>0, если р – комплексное число, то Rep>0)
При p=1: 
Г(n+1)= (где n – натуральное число)
2) Бета-функция q, p>0
B(p, q)=B(q, p)
; 
; 
; 
; 
; 
;
16) Сходимость числового ряда.
Числовой ряд: 
где u1 u2 …un… члены ряда, un общий член ряда сумма первых n членов ряда, называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается
Sn=u1+u2+…+un, если существует конечный придел S=
последовательности частичных сумм ряда, то этот придел называют суммой ряда и говорят что ряд сходится. Записывают S=
, если 
не существует или 
то ряд называют расходящимся.
Необходимый признак сходимости: если ряд сходится, то его общий член un стремиться к нулю.
Док-во. Пусть ряд сходиться и 
= S тогда 
= S (при n и (n-1) стремящихся к бесконечности). Учитывая что un=
-
при n>1 получаем:
17) Признак сравнения рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда :
и 
Если для всех n выполняется неравенство
То из сходимости второго ряда следует сходимость первого, из расходимости первого следует расходимость второго.
Придельный признак сравнения: Если существует придел 
=A (0<A<∞) то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Теорема сравнения рядов:
Рассмотрим 2 ряда:
(1) и 
(2)
(хотя бы начиная с некоторого номера)
Если сходится (2), то сходится (1)
Док-во:
Пусть (2) сходится
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
