Ответы на вопросы по Математическому Анализу (II семестр) (стр. 3 )

  ( монотонно возрастающ. Последовательность, огранич сверху и имеет конечный предел)

Сущ. кон. (1) сходится

(если расходится (1), то расходится и (2))

2)  

, то (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно и ведут себя одинаково)

(Если =конечн числу, то разность между ними есть беск малое)

  (2) сх. сх. ,

Значит сходится (1)

Замечание: если , то начиная с какого-нибудь места (), если =, то (), см Теорему (1)

18) Абсолютная сходимость

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся если сам он сходится, а ряд составленный из модулей его членов расходится.

Свойства абсолютно сходящегося ряда:

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный, из него перестановкой членов, также сходится, и имеет туже сумм S, что и исходный ряд (теорема Дрихле)

2. Абсолютно сходящиеся ряды с  суммами S1 и S2 можно складывать(вычитать) почленно. В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1+S2 (S1-S2)

3. Под произведением двух рядов u1+u2+… и v1+v2+… понимают ряд вида

(u1v1)+(u1v2+u2v1)+(u1v3+u2v2+u3v1)+…+(u1vn+u2vn-1+…+unv1)+…

Произведение двух абсолютно сходящихся радов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1*S2

*(хз надо ли) Путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд( теорема Римиана)

(Кароче) действия над знакопеременными рядами нельзя производить не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установление Абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов заменяя всюду общий член ряда его модулем.

19) Радикальный признак сходимости Коши

Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный придел =l тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1 при l=1 ничего про сходимость ряда сказать нельзя.

Доказательство:

Если l>1 имеем тогда при не стремиться к нулю след-но ряд расходится т. к. не удовлетворяет необходимому признаку.

Если l<1 то при т. е. что по признаку сравнения означает что ряд сходится.

20) Признак сходимости Деламбера.

Если существует конечный или бесконечный придел тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1 при l=1 ничего про сходимость ряда сказать нельзя.

Доказательство:

при l>1 имеем: un бесконечно возрастает а не стремится к нулю, что не удовлетворяет необходимому признаку сходимости и ряд расходится.

при l<1 имеем: т. е. следовательно => т. е. каждый член исходного ряда меньше соответствующего члена геометрической прогрессии что по признаку сравнения так как геометрическая прогрессия сходится то сходится и исходный ряд.

21) Признак Лейбница

(1)

Если последовательность абсолютных(|un|) величин монотонно убывает (u1>u2>u3>…un>…) и стремиться к нулю () то ряд (1) сходится при этом сумма S ряда удовлетворяет 0<S<u1

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2n) числового ряда:

  согласно первому условию теоремы выражение в скобках всегда положительно и значит сумм S2n>0 и возрастает с возрастанием номера 2n с другой стороны последовательность S2n можно переписать так:

легко видеть что S2n<u1 таким образом последовательность S2, S4, S6, …, S2n, … возрастает и ограничена сверху, т. е. имеет придел , причем 0<S2n<u1 рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2n+1) очевидно что S2n+1=S2n+u2n+1 следовательно (по второму условию теоремы)

И так: при четном и нечетном n следовательно ряд (1) сходится причем 0<S<u1/чтд

Замечание Исследование знакочередующегося ряда с отрицательным первым членом сводится к исследованию ряда (1) путём умножения каждого члена исходного ряда на -1.

22) Интегральный признак сходимости (Коши).

Если члены знакоположительного ряда (2)  могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;+∞) функции f(x) так, что u1=f(1), u2=f(2), …, un=f(n), …, то если сходится (расходится) интеграл сходится, то сходится(расходится)  и ряд (2)

Доказательство:

рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ox от x=1 до x=n, строим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки[1;2], [2;3] … [n-1;n] … Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:

Или т. е.

Случай когда несобственный интеграл =A> сходится, то получаем так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху числом (A+u1), то по признаку существования придела имеет придел следовательно ряд сходится.

Случай когда несобственный интеграл =+∞ и интегралы неограниченно возрастают при учитывая что получается что при т. е. ряд расходится.

Замечание: вместо интеграла можно брать где k >1

23) Степенные ряды, теорема Абеля:

1)