Ответы на вопросы по Математическому Анализу (II семестр) (стр. 4 )

- функциональный ряд. Множество значений x, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

- сходится при lxl<1 – область сходимости;

- - сходится при x<0 – область сходимости;

2)Ряд вида - (1) - степенной ряд

, - компл. значное число

Теорема Абеля:

Если ряд (1) сходится при х=х1, то он сходится абсолютно и при любом значении х2 , удовлетворяя неравенству (т. е. ближе к х0 или к х1) при любом х2.

Док-во: - разделим и умножим на

(Причем - огранич.,т. к. сходится и общий член стремится к нулю.) < = M

ряд сходится.

Если расходится ряд расходится при х=: (ближе к х0 чем к х3)

Областью сходимости степенного ряда является интервал <R. R – радиус сходимости степенного ряда.

Основные свойства степенных рядов: 1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R).

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…при –R<x<R выполняется равенство S’(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn+…

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом  отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+… при

–R<a<x<R выполняется равенство

Ряды S’(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn+… и имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

24) Ряд Тейлора (ex, sinx, cosx, (1+x)a, ln(1+x))

Степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри интервала сходимости.

, 

, 

, 

, 

25, 26) ряд Фурье, Ортогональность системы ф-ции,  Ряд Фурье в комплексной форме.

       

Ряд Фурье:

Из алгебры:

- любое линейное пространство (но попарно перпендикулярны)

  (коэффиценты Фурье)

 

(обобщенный ряд Фурье для f)

Ортогональность системы фунции :

(*)

Ряд Фурье в комплексной форме:

  для комплексного значения

  - если представить, то получится комплексно сопряженное

(пределение скалярного произведения.)

Надо доказать, что скалярное произведение любых 2-х функций = 0, то есть они попарно перпендикулярны.

n, m - натуральные числа        

l - конкретное заданное число в [-l;l]- (*) будут попарно перпендикулярны.

Запишем для какой-либо ф-ии ряд Фурье:

-сумма ряда

- ряд Фурье

Пусть функция f(x) имеет 2l и кусочно непрерывна (на любом конечном интервале имеет не более чем конечное число точек разрыва), кусочно монотонна, тогда имеет место равенство:

27) вещественное значение ряда Фурье

=

,  n=0, 1, 2…….

Замечание:

Так как функция f(x) имеет Т=2l, а и имеют этот период, то вместо можно  брать интеграл по любому промежутку длины периода (2l)

имеет период Т:

для

28)Интеграл Фурье: f(x) – кусочно-непрер., кусочно-монтон.

, такая что cx тогда , . Если f(x) четная , - cos преобразов. Фурье. Если f(x) нечетная ,

29) Разложение четных и нечетных функций:

Разложение по sin и cos. Если f(x) четная, то - четная

- нечетная, то , .

Если f(x) нечетная, то f(x)cos…. – нечетная, f(x)sin…. – четная, то =0 и (n=0,1…), .

Если функция задана в конечном промежутке, то существует бесчисленное число способов представления ее в ряде Фурье; достаточно продлить данную функцию в любой соседний промежуток, а затем продолжить периодически раскладывать в ряд Фурье:

Если функция задана в конечном интервале и в него не входит 0, то можно разложить только по cos или по sin продолжив как угодно до 0, а затем продолжить ее четным образом – получится разложение по cos, или нечетным – по sin.