Избранные главы математики (стр. 2 )

Аналогично определяется гистограмма относительных частот. Площадь соответствующей ступенчатой фигуры для нее равна единице. При увеличении объема выборки и уменьшении интервала группировки гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения .

Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках ( , ), , а полигоном относительных частот – ломаная с вершинами в точках (,), . Таким образом, полигон относительных частот получается из полигона частот сжатием по оси в n раз.

ПРИМЕР 3. Построить гистограмму и полигон частот по данным, приведенным в предыдущем примере.

Решение. По результатам группировки на основании таблицы из примера строим гистограмму частот. Соединяя отрезками ломаной середины верхних оснований прямоугольников, из которых состоит полученная гистограмма, получаем соответствующий полигон частот.

Пусть – выборка объема n, полученная в результате наблюдения за некоторым показателем. По этой выборке может быть построен (группированный или негруппированный) статистический ряд. Рассмотрим методы нахождения оценок числовых характеристик этого показателя. Числовые характеристики, найденные по выборочным данным, называются выборочными числовыми характеристиками. Рассмотрим методы получения выборочных оценок основных числовых характеристик.

1. Выборочное среднее служит оценкой математического ожидания и его можно интерпретировать как среднее значение среди всех элементов выборки. Выборочное среднее рассчитывается по формулам:

- для выборочных данных и

- для статистического ряда.

2. Выборочная несмещенная дисперсия является оценкой дисперсии и характеризует квадрат среднего разброса выборочных данных вокруг среднего. Выборочная дисперсия рассчитывается по формулам:

- для выборочных данных и

- для статистического ряда.

3. Выборочным среднеквадратическим отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии .

С помощью выборочных характеристик оцениваются генеральные характеристики

– генеральная средняя;

– генеральная дисперсия;

– генеральное среднее квадратическое отклонение.

Оценки имеют следующий вид:

; ; , где

- так называемая исправленная выборочная дисперсия.

Приведенные оценки носят случайный характер, так как зависят от выборки. Они называются точечными и удовлетворяют следующим требованиям:

несмещенность (отсутствие систематических ошибок); состоятельность (увеличение объема выборки повышает вероятность правильности оценки); эффективность (имеют самый незначительный разброс по сравнению с другими возможными оценками).

4. Выборочной модой называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.

5. Выборочной медианой называется число , которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число элементов.

Основные характеристики выборки ; ; , где лишь приближенно характеризуют генеральную совокупность и могут оказаться далекими от соответствующих характеристик генеральной совокупности: , ; . Поэтому для последних используют интервальные оценки, когда неизвестная характеристика заключена в некотором интервале с заданной надежностью (вероятностью) . Такой интервал называется доверительным. Значения надежности берутся, как правило, высокими: 0,9; 0,95; 0,99 или 0,999, что соответствует 90; 95; 99 или 99,9%.

Если количественный признак X в генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно, то с вероятностью доверительный интервал, заданный выражением:

,

покрывает неизвестное математическое ожидание а. Здесь параметр t находится из соотношения с помощью таблицы значений для интегральной функции Лапласа.

Часто статистическое распределение выборки носит интервальный характер. В этом случае указывают числовые частичные интервалы, куда попадают значения признака X, и – количество значений, попавших в интервал с номером i. В качестве значений выбирают середины частичных интервалов.

Значения называются абсолютными частотами, их сумма равна объему выборки .

ПРИМЕР 4. Найти среднюю заработную плату одного из цехов промышленного предприятия и стандартное отклонение

Заработная плата, у. е.	50-75	75-100	100-125	125-150	150-175	175-200	200-225
Число работников	12	23	35	37	19	15	9

Решение. Пусть - середина интервалов, - условные варианты

, - длина интервала, - ложный нуль.

Тогда, для интервала 50-75: , ,

                                       .

Аналогично находим оставшиеся значения.

Составим таблицу значений.

Таблица 1.

Интервалы
50-75	12	62,5	-3	-36	108
75-100	23	87,5	-2	-46	92
100-125	35	112,5	-1	-35	35
125-150	37	137,5	0	0	0
150-175	19	162,5	1	19	19
175-200	15	187,5	2	30	60
200-225	9	212,5	3	27	81
	150	-41	395

Вычислим условные характеристики