Избранные главы математики (стр. 4 )

	54	24	5	0	7	32		контроль
	-2	4	6	5	9	8
	6	-8	-6	0	9	16

По данным таблицы находим

Подставив найденные величины в уравнение прямой регрессии Y на X, получим искомое уравнение

ПРИМЕР 7. По данным корреляционной таблицы 1 найти условные средние и . Оценить тесноту линейной связи между признаками Х и Y и составить уравнения линейной регрессии Y по X и X по Y. Cделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить тесноту связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

Таблица 1

X Y	15	20	25	30	35	40
49	14	14	9	37
59	7	13	6	26
69	10	40	2	52
79	8	4	3	15
	8	4	20	67	22	9	130

Решение. В таблице 1 приведены данные выборочных наблюдений за 130 объектами, обладающими признаками X и Y. Каждому объекту соответствует пара значений (x, у), а частота показывает количество объектов с такой парой значений признаков.

Все возможные значения признака X перечислены в верхней горизонтальной строке таблицы 1, а для признака Y – в первом вертикальном столбце. В клетках на пересечении каждой строки и каждого столбца проставлена частота , с которой наблюдается каждая пара значений.

Например: пара значений (15;79) наблюдалась 8 раз, пара значений (30;69) наблюдалась 40 раз и т. д.

Пустые клетки означают, что соответствующие им пары значений не наблюдались.

В нижней итоговой строке данной таблицы напротив каждого значения признака Х проставляется соответствующая ему частота nx, равная сумме всех частот столбца и указывающая, сколько раз всего наблюдалось данное значение х. Аналогично, в последнем итоговом столбце напротив каждого значения у записывают соответствующую ему частоту ny, равную сумме частот по строке и указывающую, сколько раз всего наблюдалось данное значение у. Очевидно, что суммы всех частот для и для должны быть равны между собой и равны объему выборки (количеству наблюдаемых пар):

Объем выборки n проставляется в последней клетке таблицы. В данной задаче n = 130.

В таблице 1 каждому значению X соответствует статистическое распределение признака Y.

Например, для x = 30:

Y	49	59	69	79
	14	13	40	-

Отсюда находим среднее значение y при условии, что x = 30, или условную среднюю:

Аналогично, каждому значению y соответствует статистическое распределение Х. Например, для y = 49:

Х	15	20	25	30	35	40
	-	-	-	14	14	9

Отсюда находим условную среднюю:

Не выписывая далее статистических распределений, а беря их непосредственно из данной корреляционной таблицы 1, найдем все условные средние по формулам

Оценка тесноты линейной связи между признаками Х и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

Коэффициент r может принимать значения от –1 до +1, то есть

Знак r указывает на направление связи: прямая или обратная. Абсолютная величина указывает на силу (тесноту) связи.

Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)

При r > 0 связь прямая, то есть с ростом х растет у.

При r < 0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у.

Для нахождения r вычислим указанные общие средние: x, y, xy, а также средние квадратические отклонения σx и σy. Вычисления удобно поместить в таблицы 2 и 3, куда вписываем также найденные ранее условные средние.

В рассматриваемой задаче эта сумма в обеих таблицах равна 234560. Равенство может оказаться приближенным, что связано с приближенными вычислениями условных средних и .

С помощью таблиц 2 и 3 находим общие средние, средниеквадратов, среднюю произведения и средние квадратические отклонения:

ПРИМЕР 8. Дан интервальный вариационный ряд распределения признака X при уровне значимости проверить гипотезу о нормальности распределения X в генеральной совокупности по критерию Пирсона.