Геометрия треугольников в школьном курсе математики. Задачи как средство обобщения и систематизации знаний

,

учитель математики высшей категории

ГБОУ СОШ № 000 Фрунзенского района Санкт-Петербурга

,

учитель математики высшей категории

ГБОУ СОШ № 000 Фрунзенского района Санкт-Петербурга

,

учитель математики высшей категории

ГБОУ СОШ № 000 Фрунзенского района Санкт-Петербурга

Геометрия треугольников в школьном курсе математики. Задачи как средство обобщения и систематизации знаний

С целью реализации системно-деятельностного подхода в изучении математики и дальнейшего успешного обучения решению геометрических задач в школе авторы статьи предлагают использовать выработанные в каждой теме общие положения, своеобразные «алгоритмы» геометрии. И одним из ведущих алгоритмов решения большого количества геометрических задач является «метод площадей». Материалы статьи могут быть использованы как при изучении программного материала школьного курса геометрии, так и при подготовке к итоговой аттестации за курс основной школы.

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение».  (В. Произволов)

В соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования необходимо учитывать предъявляемые современные требования к уровню подготовки обучающихся. В частности, в разделе «Математика. Алгебра. Геометрия. Информатика» в Стандарте говорится о необходимости:

формирования представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления; овладения геометрическим языком; развитие умения использовать его для описания предметов окружающего мира; развитие пространственных представлений, изобразительных умений, навыков геометрических построений; формирования систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, представлений о простейших пространственных телах; развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии, исследования построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решения геометрических и практических задач; развития умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах. [1]

Для того чтобы математические понятия, теоремы, законы, правила стали предметом учебной деятельности, необходимо представить их в виде задач, которые бы направляли и стимулировали активность обучающихся. Умение решать задачи является надежным критерием осознанного и творческого овладения знаниями, умениями и навыками.

Школьный курс геометрии всегда был и остается одним из проблемных разделов математики. Интерес детей к геометрии падает. Изучение геометрии вызывает у многих учащихся затруднения, усвоение материала, в основном, строится на заучивании большого объема теоретического материала. Но вместе с тем именно геометрия играет важную роль в развитии познавательной активности и любознательности, логического мышления и пространственного воображения учащихся, формирует не только специальные геометрические знания, но и влияет на общее развитие личности, умение логически мыслить, доказательно обосновывать утверждения в любой сфере своей деятельности в дальнейшей жизни. 

Так сложилось, что многие обучающиеся не умеют правильно строить геометрические чертежи к задачам, анализировать условие задачи, выдвигать версии решения и конструировать доказательство. Не секрет, что прочными математическими знаниями обладают единицы (это те обучающиеся, которые без предварительного повторения способны самостоятельно решить любую задачу своего уровня с более чем 90% гарантией положительного результата).

В соответствии с положениями, сформулированными Д. Пойа, в решении задач выделяют следующие этапы: анализ условия и требований задачи, поиск плана решения, реализация намеченного плана и обоснование того, что полученный результат удовлетворяет требованиям задачи; анализ проведенного решения и полученного результата.[3] Вопрос: «Как научить обучающихся решать задачи по геометрии?» - является весьма актуальным в наше время. Ответ на него кажется очевидным.

Для того, чтобы научить решать задачи, необходимо решать задачи.

Однако простое следование этой рекомендации не может привести к ожидаемому результату, поскольку задач много. Все их не перерешаешь, и нужно еще учесть, что при решении последующих задач предыдущие задачи забываются. По истечении какого-то времени обучающиеся могут не только не вспомнить, как решать задачу, которую они решали ранее, но и не вспомнить сам факт решения этой задачи. Это можно объяснить тем, что в процессе решения не был отработан метод (подход), лежащий в основе решения задач определенного типа, не были сформированы устойчивые навыки и представления, необходимые для решения данной и аналогичных ей задач.

В методике преподавания математики имеются примеры преодоления этих трудностей обучения решению задач. Они основаны на выделении базовых (ключевых) задач, закладывающих основы дальнейшего обучения решению более сложных заданий. Так же следует поступать и в случае обучения решению геометрических задач.

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже две с половиной тысячи лет треугольник – символ геометрии. И не только символ, он – атом геометрии. Треугольник – это важнейшая фигура планиметрии, и поэтому, в первую очередь, в школьном курсе математики изучают свойства этой фигуры. С ним связаны многие методы, которые широко используются при решении различных геометрических задач. Любой многоугольник можно разделить на треугольники, а изучение свойств данного многоугольника можно свести к изучению свойств составляющих его треугольников. Можно утверждать, что изучаемая в школьном курсе геометрия – это геометрия треугольников. Треугольник – одна из основных геометрических фигур планиметрии, свойства которого  применяются и в стереометрии 10-11 классов, и при решении задач во время основного государственного экзамена и единого государственного экзамена.

При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому, решающему геометрические задачи. Один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т. е. решение задач с использованием свойств площадей.

Метод площадей

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например, для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, решая которое, мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами.

Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы. Предлагаем систему задач, обучающих использованию метода площадей:

Таблица 1. Метод площадей.

Метод площадей. Теория
	Площади треугольников, имеющих равные высоты (общую высоту), относятся как стороны, соответствующие этим высотам
	Площади треугольников, имеющих равные стороны, относятся как соответствующие этим сторонам высоты
	Площади треугольников, имеющих равный угол (или общий угол), относятся как произведение сторон, содержащих этот угол.
	Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников
Метод площадей. Задачи
	Дано  Найти:   Ответ:
	Дано: Найти: Ответ: 20 Вывод: Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению сторон, к которым проведена высота. Если же стороны, к которым проводится высота, равны, то и площади треугольников также равны. Во сколько раз отношение сторон треугольников, к которым проводится высота, больше (меньше), во столько раз и площади больше (меньше).
	Дано: параллелограмм Найти: Ответ: 8	Вывод: В этом случае отношение площадей треугольника и параллелограмма равно отношению их высот. Высота параллелограмма есть высота треугольника. Но в нахождении площади треугольника присутствует коэффициент, значит, составляя и решая данную пропорцию, получаем 8.
	Дано:  Найти:     Ответ:
	Дано: - параллелограмм ВК и АО - медианы О – середина ВD	Найти: Ответ: 10.
	Дано: ABCD – параллелограмм	Найти: Ответ:
	Дано: - медианы	Найти: Ответ:
	Дано: -диагональ	Найти: Ответ:
	Дано: ABCD - параллелограмм АС – диагональ	Найти: Ответ:
	Дано: ABCD - параллелограмм ВК – медиана	Найти: Ответ: 24

Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту общего образования, основой которого является системно-деятельностный подход к обучению, все компоненты системы обучения осуществляются на основе этого подхода. В частности, необходима деятельностная основа процесса обучения решению задач. Следует отметить, что содержание учебной деятельности обучаемых должно быть, преимущественно, представлено в виде учебных заданий, выполняя которые на том или ином уровне, обучаемые и достигают целей образования.

Современное общество предъявляет особые требования к выпускнику школы. Необходимо глубокое познание мира, открытие в нем все новых и новых процессов, свойств и взаимоотношений людей и вещей. Успех развития обучающихся как личности достигается главным образом на уроке, когда учитель остается один на один со своими воспитанниками. И от его умения  «наполнить сосуд, и зажечь факел», от его умения и стремления организовать систематическую познавательную деятельность зависит степень интереса обучающихся к учебе, уровень знаний, готовность к постоянному самообразованию и развитию способностей.

Список источников

Федеральный Государственный образовательный стандарт основного общего образования (Стандарты второго поколения) / Министерство образования и науки РФ. – М.: Просвещение, 2015. – 48 с. Далингер и место задач в формировании учебно-исследовательской компетентности учащихся школы. /Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. , Выпуск № 2 / 2012 Джордж Пойа. Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М., 1976 Зив к урокам геометрии 7-11 классы. 5-е изд. СПб., 1997. , Турецкий научиться решать задачи: Пособие для учащихся. 2-е изд., перераб. и доп. М., 1984