Актуальные главы высшей математики Конспект лекций и планы семинарских занятий (стр. 4 )

В общем случае абстрактное множество А – это совокупность его отдельных элементов (а1, а2...) любой физической природы. Например, А – коллектив института – единое абстрактное множество, ai – i-й студент, являющийся элементом множества А, т. е.: ai ∈ А, ∀i = 1,2, ..., n (символ ∈ обозначает принадлежность элемента множеству). С другой стороны, можно записать: А = {ai}, т. е. множество А есть совокупность всех своих элементов.

Множество В называется подмножеством по отношению к множеству А, если каждый его элемент (в1, в2, …) принадлежит множеству А, т. е. ∀i =: вj ∈ А, и, кроме того В { вj }. Здесь n и m – объемы множеств А и В соответственно. Например, В – это множество студентов-первокурсников.

Оно является подмножеством множества всех студентов вуза. Более кратко: В ∈ А.

Множества А и В равны или эквивалентны друг другу, т. е. А = В, если каждый элемент множества А одновременно принадлежит множеству В, и наоборот. Понятия множеств и их подмножеств хорошо иллюстрируются с помощью так называемых диаграмм Эйлера (см рис. 3.1).

Здесь точки условно обозначают отдельные элементы, а линии – границы рассматриваемых множеств.

Рис. 3.1

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается как 0.

Напротив, полное множество I - это множество всех мыслимых элементов. Над множествами А, В, С, ...0, I в рамках абстрактной алгебры множеств выполняются следующие операции:

Объединением или логической суммой двух множеств А и В называется множества С = А + В, включающее в себя каждый отдельный элемент как множества А, так и множества В (рис.3.2).

С=А+В

Рис. 3.2

На рис.3.2 результирующая логическая сумма С помечена штриховкой, т. е. все элементы в пределах этой штриховки включены в множество С.

2 . Пересечением двух множеств А и В называется множество С = А*В, составленное только из общих элементов двух рассматриваемых множеств. Соответствующая область на рис. 3.3 также заштрихована.

Рис.3.3

3. Дополнением множества А или его логическим отрицанием называется множество В = , которое не содержит ни одного элемента из множества А и в сумме с этим множеством А + = I даёт полное множество элементов I (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Перечисленные операции образуют математическую базу всей алгебры множеств. Иными словами, любые, даже очень сложные действия над множествами сводятся к применению только этих трех перечисленных операций.

Основные свойства операций над множествами состоят в следующем:

А + В = В + А – свойство коммутативности объединения;

А*В = В*А

(А + В) + С = А + (В + С)  – свойство ассоциативности;

(А*В)*С = А*(В*С)

3.        (А + В)*С = А*С + В*С – распределительный закон;

4.        А + 0 = А;

А*0 = 0;

А*Г = А.

Это стандартный набор свойств для всех разновидностей алгебры. Наряду с этими свойствами операции алгебры множеств имеют ряд особенностей:

5.        А + I = 1;

6.        А + А = А;

7.        А*А = А;

8.        A* = 0; A + = I.

Класс произвольных множеств а, B, C..., включающий в себя множества 0 и I, в котором определены две бинарные операции: логического сложения (1) и логического умножения (2) и, кроме этого, одна унарная операция: логическое отрицание (3) со свойствами (1)...(8) образует строгое понятие алгебры множеств.

Её обобщённая форма – алгебра Буля – обозначается, как {А, В, С,...;0, I;(+), (*), ()} и распространяется в своих приложениях на объекты А, В,С любой природы, не обязательно множества. Примером может служить алгебра логики, как наиболее простая и наглядная форма алгебры Буля.

3.2. Алгебра Буля и алгебра логики

Алгебра логики определяется на бинарном множестве элементов: логический нуль "0" и логическая единица "1", в котором определяются следующие операции:

1. Дизъюнкция или логическое сложение:

0 + 1 = 1;

1 + 0 = 1;

0 + 0 = 0;

1 + 1 = 1 (для сокращения записи кавычки опущены).

Конъюнкция или логическое умножение:

0*0 = 0; 0*1 = 0; 1*0 = 0; 1*1 = 1.

3. Логическое отрицание:

= 1;

= 0 (последнее равенство, в частности, читается: "не единица - это логический нуль").

Таким образом, логическое отрицание сводится к элементарной операции обращения логического элемента.

Не трудно убедиться в том, что все логические операции отвечают общим свойствам Булевой алгебры (1)...(8).

В алгебре логики, как и в любой другой алгебре, включая элементарную алгебру чисел, большое значение имеет понятие переменной величины: х, у...

Переменная х, принимающая только два возможных значения: логический нуль и логическая единица, называется логической переменной (величиной). В общем случае алгебра логики оперирует одновременно с несколькими логическими переменными: х1, х2, …, хn (n – их суммарное число).

Функция у = f(x1,x2,...xn) от любого конечного числа n логических переменных, способная принимать только два возможных значения: логические 0 и 1, называется логической или булевой функцией. Очевидно, что значение этой функции у по своей сути есть также логическая переменная.

Таким образом, любая булева функция устанавливает вполне определённое соответствие между набором значений своих аргументов, с одной стороны, и результатом у, с другой. Характер указанного соответствия зависит от выбора вида функции f(x).

В общем случае булева функция f(x) задаётся с помощью так называемых таблиц истинности. Например, для случая n = 3 имеем в качестве возможного варианта следующую таблицу:

Таблица 3.1.

x1	0	0	0	0	1	1	1	1
x2	0	0	1	1	0	0	1	1
x3	0	1	0	1	0	1	0	1
y	0	0	1	0	1	1	1	1

В рассматриваемом случае зависимость у = f(x1, x2, x3) может быть записана следующим образом: у = x1 + . Последний вывод легко доказывается путем подстановок в правую часть последнего равенства любых возможных комбинаций его аргументов. Например, при x1 = 0; х2 = 1; х3 = 0 (третий столбец таблицы) получаем у = 0 + = 1*1 = 1. Иными словами, любой сколь угодно сложный вид булевой функции f может быть реализован с применением только трёх логических операций. Поэтому говорят, что рассмотренные операции образуют полный набор логических операций.

3.3. Нормированная алгебра Буля

Произвольная алгебры Буля В = {А, В, С...,(+), (*), } называется нормированной, если применительно к её каждому абстрактному объекту введено понятие численной меры или нормы р(А), р(В), р(С). со следующими свойствами:

1. 0 ≤ р ≤ 1,  р(0) = 0,  р(1) = 1;

2. если произведение двух элементов А*В = 0, т. е. эти элементы не пересекаются, то норма суммы рассматриваемых элементов равна сумме норм каждого элемента в отдельности, т. е. р(А + В) = р(А) + р(В).

Таким образом, нормированная алгебра Буля отличается от обычной абстрактной алгебры лишь введением в эту алгебру дополнительной унарной операции вычисления нормы р(.).

Нормированная алгебра Буля играет важную роль в современной теории вероятностей. Здесь в роли каждого рассматриваемого объекта А, В, С выступает некоторое событие, а его норма р(А), р(В),... имеет смысл вероятности данного события. Понятие "вероятность" здесь применяется в качестве меры истинности каждого события.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

4.1. Алгебра событий и основные понятия теории

вероятностей

Булева алгебра В, в которой в роли абстрактных объектов А, В, С рассматриваются некоторые события, называется алгеброй событий –производное от общего понятия булевой алгебры. При этом под событием в общем случае понимают любой факт или явление, которое происходит или может произойти по результатам опыта, наблюдения, испытания. Например:

событие А – "идёт дождь";

событие В – "экзамен по математике сдан на отлично".

В соответствии с общими принципами булевой алгебры алгебра событий базируется на ряде аксиом:

1. Объединением двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в осуществлении или события А, или события В, или обоих рассматриваемых событий одновременно.

Говорят, что событие С состоит в осуществлении хотя бы одного из событий А и В. Например, если событие А – это ошибка в ответе на первый экзаменационный вопрос, а В – ошибка в ответе на второй экзаменационный вопрос, то, при условии, что экзаменационный билет содержит только два вопроса, получаем событие С – неудовлетворительная оценка за суммарный ответ.