Актуальные главы высшей математики Конспект лекций и планы семинарских занятий (стр. 8 )

Приложение

ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИИ

Тема 1. Геометрия Евклида.

Геометрия Евклида как первая естественнонаучная теория. Зарождение математики как науки, направления развития, этапы становления с точки зрения исторического развития [1, 2, 4, 5].

Тема 2. Математические методы.

Аксиоматический, дедуктивный методы, метод математической индукции, вероятностный и др. Математические методы в целенаправленной деятельности

Тема 3. Основные этапы становления современной математики

(в историческом развитии) [1 . . .6].

Тема 4. Структура современной математики.

Роль математики в гуманитарных науках [1, 2, 4... 6].

Тема 5. Математика как «язык» всех народов.

Основные черты математического мышления, математические доказательства [ 1 , 2, 4 . . . 6, 8] .

Тема 6. Основные идеи математического анализа.

Дифференциальное и интегральное исчисления [2, 4, 5, 8].

Тема 7. Математика случайного.

Теория вероятностей. Случайная величина и ее характеристики. Основные понятия математической статистики. [2, 4, 5, 8, 9].

Тема 8.Алгебра логики (Алгебра Дж. Булля).

Основные операции и их свойства. Таблицы истинности. Минимизация логических функций. [4, 5, 8].

Тема 9. Система линейных уравнений 2-го порядка.

Пример решения системы уравнений 2-го порядка в общем виде. Случаи: имеются корни уравнения, нет корней, бесконечное множество корней. Матрица коэффициентов. Определитель (детерминант) 2-го порядка. Запись решения уравнения в матричном виде. Пример решения линейного управления 2-й степени [7].

Тема 10. Определители матриц третьего порядка.

Исследование системы трех линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными. Правило Саррюса. Пример вычисления определителя 3-го порядка с помощью правила Саррюса. Решение системы. Теорема о единственности решения. Пример решения системы [7].

Тема 11. Определители высших порядков.

Система обозначений. Перестановки. Инверсии. Пример подсчета инверсий в перестановке. Определение определителя (детерминанта) матрицы n-го порядка. Пример нахождения определителя 4-го порядка. Нахождение знака 1-го члена определителя (по примеру) [7].

Тема 12. Транспозиции.

Определение и примеры транспозиции. Четность перестановки. Свойства транспозиции. Знак члена определителя n-го порядка. Пример нахождения знака определителя n-го порядка [5,7].

Тема 13. Подстановки.

Чётность подстановки. Нахождение знака члена определителя n-го порядка (по примеру). Произведение подстановок. Тождественная (единичная) подстановка. Обратная подстановка. Сочетательный закон умножения подстановок. Циклы. Разложение подстановок. Декремент [5,7].

Тема 14. Свойства определителей.

О замене строк столбцами. О равенстве нулю определителя, у которого две строки (два столбца) одинаковы. Об умножении на число. Об общем множителе. О пропорциональности двух строк (столбцов). О сумме двух определителей одного порядка. О сложении строк (столбцов) определителя. О смене мест строк (столбцов) в определителе. Примеры. Доказательство одного из свойств [5,7].

Тема 15. Миноры и алгебраические дополнения.

Определения минора и алгебраического дополнения. Теорема о произведении элемента на его алгебраическое дополнение (доказательство), о нахождении значения определителя. Определитель Вандермонда. Примеры вычислений. [7].

Тема 16. Разложение определителей по элементам строки и столбца.

Теорема о нахождении определителя n-го порядка, о сумме произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца), система уравнении с п. неизвестными; совместные и равносильные системы. Теорема о единственности решения [5,7].

Тема 17. Правило Крамера.

Примеры решения систем с помощью правила Крамера. Нулевое (тривиальное) решение системы. Теорема о ненулевых решениях системы. Пример [5,7].

Тема 18. Умножение определителей.

Основное правило умножения определителей. Пример. Доказательство правила умножения. Три способа умножения определителей n-го порядка [7].

Тема 19. Матрица и ее ранг.

Определение матрицы n-го порядка, минора (определителя) k-ro порядка, ранга матрицы. Примеры. Нулевая, ступенчатая, треугольная матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы, теорема об элементарных преобразованиях. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пример вычисления ранга матрицы путем приведения ее к ступенчатому виду [5,7].

Тема 20. Система линейных уравнений.

Система т линейных уравнений с п неизвестными. Совместная, определенная и несовместная системы. Равносильные системы. Матрица системы, присоединенная матрица системы. Решение систем с помощью метода Гаусса. Теория о равносильности систем, о несовместной системе, об определенной системе. Пример решения системы. Общее решение системы. Главные и свободные неизвестные. Теорема Кронекера-Капелли [7].

Тема 21. Вычисление ранга матрицы.

Приведение матрицы к ступенчатому виду. Исключение нулевых строк и столбцов. Теорема о ранге матрицы. Примеры на каждый способ вычисления [7].

Тема 22. Система  линейных  однородных  уравнений.

Тривиальное решение, случай бесконечного множества решений, связь с рангом матрицы системы, сумма, разность, произведение решений.

Однородная, неоднородная, приведенная система. Теорема о связи между решениями основной и приведенной системы. Примеры [5,7].

Тема 23. Линейные преобразования и матрицы.

Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования. Определитель линейного преобразования. Вырожденное (особенное) и невырожденное (неособенное) линейное преобразование. Произведение матриц. Определитель произведения двух или нескольких матриц. Тождественное преобразование и его матрица. Примеры [7].

Тема 24. Обратное линейное преобразование.

Вырожденное линейное преобразование произведения матриц. Теорема о существовании обратного линейного преобразования и обратной матрицы. Правило (закон) составления обратной матрицы. Теорема о единственности обратного линейного преобразования [7].

Тема 25. Произведение нескольких матриц.

Степень матриц. Умножение матрицы на число. Скалярная матрица. Свойства умножения (2) матрицы на число. Ассоциативный закон умножения прямоугольных матриц. Примеры [7].

Тема 26. Матричная запись уравнений.

Непосредственное решение. Единственность решения. Примеры и решения 1

Тема 27. Сложение матриц.

Сумма матриц. Основные свойства операции сложения матриц п-го порядка. Разность матриц. Нулевая матрица, противоположная матрица. Сложение прямоугольных матриц. Примеры [5,7].

Тема 28. Кольцо.

Понятие композиции (алгебраической операции). Примеры композиций. Понятие кольца по отношению к операциям сложения и умножения. Примеры колец. Понятия суммы и произведения нескольких элементов кольца. Свойства суммы и произведения кольца (порядок расставления скобок). Нулевой элемент кольца, противоположный элемент, единица, делители нуля. Примеры [7, 8].

Тема 29. Поле.

Понятие поля. Свойства поля. Обратный элемент. Примеры полей. Подполе (расширение) поля. Поле комплексных чисел. Примеры [7, 8].

Тема 30. Изоморфизм. Группа.

Понятие множества. Взаимно-однозначное соответствие. Изоморфные множества, их свойства. Операции над множествами. Группа. Свойства группы. Примеры. Изоморфизм группы. Абелева группа [7, 8].

Тема 31. Понятие линейного пространства.

Линейное (векторное) пространство, его свойства. Примеры  пространств, секторы, свойства векторов, понятие подпространства. Собственное, несобственное, нулевое подпространство. Критерий образования подпространства. Примеры подпространств [7, 8].

Тема 32. Линейная зависимость.

Определение линейной зависимой и линейной независимой системы векторов. Линейная комбинация векторов. Ранг системы векторов. Теорема о линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге системы строк и системы столбцов матрицы. Примеры [7].

Тема 33. Конечномерное пространство.

Определение конечномерного и бесконечномерного пространства. Примеры. Нулевое пространство. Единственность выражения вектора n-мерного пространства через базис. Координаты вектора. Примеры [7].

Тема 34. Базис линейного векторного пространства.

Свойства базиса конечномерного пространства. Теорема о связи числа векторов п - мерного линейного пространства с базисом. Лемма о равенстве матриц в одном базисе. Теорема об обратной матрице. Матрица перехода от одного базиса к другому. Теорема о конечномерности ненулевого подпространства линейного пространства. Линейная оболочка пространства. Примеры [5,7].

Тема 35. Линейное преобразование пространства.

Определение линейного преобразования или оператора. Свойства. Примеры. Матрица линейного преобразования в базисе. Теорема о единственности линейного преобразования системы векторов. Задание линейного преобразования с помощью квадратной матрицы. Примеры [7].

Тема 36. Лемма о линейном преобразовании.

Лемма о линейном преобразовании произведения числовой и векторной матрицы. Линейные преобразования координат вектора. Примеры. Подобные и трансформированные матрицы [7].

Тема 37. Евклидово пространство.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Определение евклидова пространства. Скалярное произведение нулевого вектора. Примеры. Билинейная форма, симметрическая билинейная форма. Квадратичная форма. Положительно определенная квадратичная форма [7, 8].

Тема 38. Длина или нор Тема 39. Теоремы об ортонормированном базисе в Rn и о скалярном произведении двух векторов.

Изоморфизм евклидовых пространств. Определения, примеры. Теоремы об ортонормированном базисе и скалярном произведении двух векторов [7].

Тема 40. Теория множеств.

Понятие множества. Обозначения множества и его элементов. Конечные и бесконечные множества. Универсальное, пустое множества. Подмножество. Способы задания множества. Примеры. [4, 5, 8].

Тема 41. Теория множеств.

Операции над множествами и их свойства. Иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера. [4, 5, 8].

Тема 42: Комбинаторный анализ.

Основные правила комбинаторики: правило суммы, правило произведения. Размещения и перестановки без повторения и с повторением. Примеры. [5, 8].

Тема 43. Комбинаторный анализ.

Сочетания без повторения и с повторением. Разбиения и композиции. Беспорядки. Понятие рекуррентности. Примеры [5, 8].

Тема 44. Алгебра высказываний и «законы мысли».

Алгебра высказываний как раздел математической логики. Основные понятия: тождественность, истинность, ложность, отрицание и обозначения. Основные свойства отрицания. Связь алгебры высказываний с филологическими науками. [4, 5,8].

Тема 45. Основные теоремы теории вероятностей.

Понятие суммы и произведения событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Способы задания случайной величины. Функция и плотность распределения случайной величины [4, 5, 8, 9].

Тема 46. Числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, мода и медиана. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Моменты случайной величины [4, 5, 8, 9].

Тема 47. Распределения случайных величин.

Равномерное распределение. Нормальное, или гауссово, распределение. Биномиальное и другие распределения [4, 5, 8, 9].

Тема 48. Элементы теории случайных процессов.

Случайный стационарный процесс. Его многомерный закон распределения. Основные статистические характеристики случайных процессов [9].

Тема 49. Математические методы оптимизации.

Проблема оптимальности. Итеративные методы оптимизации систем. Их разновидности, условия сходимости к оптимальному решению [10].

Тема 50. Методы стохастической аппроксимации.

Задача стохастической аппроксимации. Разновидности существующих методов. Условия их сходимости к оптимальным решениям [10].

Библиографический список

1. Хрестоматия по истории математики/Под ред. . Часть 1. Арифметика и алгебра, теория чисел, геометрия. - М.: Просвещение, 1976.

2. Хрестоматия по истории математики /Под ред. . Часть 2. Математический анализ, теория вероятностей. - М.: Просвещение, 1977.

3.   Арифметика и алгебра в древнем мире. – М.: Наука, 1967.

4. Яглом структура и ее модели. – М.: Советское радио, 1980.

5. Математическая энциклопедия (в 5 томах) /Под ред. . –М.: Сов. энциклопедия, 1977.

6. , Поволоцкий и современность.  –Ленинград: Знание, 1982.

7. Окунев алгебра. – М.: Просвещение, 1966.

8. правочник по математике. - М.: Наука, 1974.

9. Савченко  вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций. - Н. Новгород: НГЛУ, 1999.

АКТУАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Конспект лекций и планы семинарских занятий

Владимир Васильевич Савченко,

Владимир Алексеевич Грушин

Редакторы: ,

Лицензия ЛР № 000 от 20.06.97

Подписано к печати                11.02.07.                        Формат 60 ч 90 1/16

Печ. л. 3.9                                Заказ                                Тираж 300 экз.

Цена договорная

Типография НГЛУ им. ,

603155, Н. Новгород, ул. Минина, 31-а