(y) 
. (3)
Сила трения:
. (4)
Из уравнений (2) и (4) находим:
. (5)
Подставляем (5) в (3):
. (6)
Решаем уравнение (6):
.
Проверим размерность формулы:
.
Выполним расчеты:
.
Ответ: 
.
Пример 3. Медный шар радиусом R=0,1 м вращается с частотой н=2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую минимальную работу А необходимо совершить, чтобы остановить шар? Плотность меди с=8900 кг/м3.
Решение. Минимальная работа равна изменению кинетической энергии шара 
. Так как шар остановился, то 
и 
. Кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле:
, (1)
где 
– момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр; 
‑ угловая скорость вращения; 
– масса шара, с – плотность меди, V ‑ объем шара.
Подставив выражения для момента инерции шара, его массы и угловой скорости вращения в формулу (1) и выполнив преобразования, получаем:
.
Следовательно 
.
Проверим размерность формулы:
.
Выполним расчеты:
.
Ответ: 
.
Пример 4. Тело массой m1=1 кг ударяется о неподвижное тело массой m2=4 кг. Считая удар центральным и абсолютно упругим найти, какую часть энергии передает первое тело второму при ударе.
Решение.
Рисунок 3 - Абсолютно упругое взаимодействие тел
При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения энергии:
, (1)
где v1, v2, u1, u2 - скорости тел до и после удара, соответственно. Кинетическая энергия второго тела до удара была равна 0. После удара изменение энергии второго тела ΔЕк2=Ек2, где Ек2 - кинетическая энергия второго тела после удара. По определению
.
Так как удар центральный и абсолютно упругий, то выполняется закон сохранения импульса:
, (2)
Выберем координатную ось так, как показано на рисунке 3. В проекции на ось ОХ уравнение (2) принимает вид:
, (3)
Поскольку v2=0, то выражения (1) и (3) можно переписать в виде:
, (4)
. (5)
Решая систему уравнений (4)-(5), находим:
.
Тогда кинетическая энергия второго тела после удара
.
Определим часть энергии, которую передаст первое тело при ударе:
.
Выполним расчеты: 
.
Ответ: Ек2/Ек1=0,64.
Пример 5. Однородный тонкий стержень совершает в вертикальной плоскости гармонические колебания относительно горизонтальной оси, расположенной на расстоянии одной трети длины стержня от его верхнего края. Период колебаний такого маятника равен Т=1,8 с. Определить длину L стержня.
Решение. Колеблющийся в вертикальной плоскости стержень можно рассматривать как физический маятник, период колебаний которого определяется по формуле:
, (1)
где J – момент инерции стержня относительно рассматриваемой оси вращения; m – масса стержня; g – ускорение свободного падения; l – расстояние от центра масс стержня до оси вращения.
Момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения определяется по теореме Штейнера:
, (2)
где 
‑ момент инерции стержня относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс (середину); а – расстояние между центром масс стержня и рассматриваемой осью вращения (очевидно, что а= l). Определим а или l, исходя из условия задачи:
. (3)
Подставив выражение (3) и J0 в (2), получаем:
. (4)
Тогда формула (1) с учетом (3) и (4) примет вид:
. (5)
Из (5), выполнив преобразования, находим:
.
Проверим размерность формулы:
.
Выполним расчеты:
.
Ответ: 
.
Пример 6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1.5 м и массой m1=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:
(1)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
