где Jz - момент инерции платформы с человеком относительно оси z, ω - угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии Jz = J1 +J2, а в конечном состоянии Jz = J1 +J2.
С учетом этого равенство (1) примет вид:
(2)
где значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы, J1 и J2 - к конечному.
Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: 
Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека
Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком ( ω = 2 πn) и конечной угловой скорости (ω=v/R, где v ‑ скорость человека относительно пола)
После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость:
Произведем вычисления: 
Пример 7. Частица массой m=0.01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т=2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е=0.1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.
Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:
где ω =2 π/Т. Отсюда амплитуда 
(1)
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F=-kx, где k - коэффициент квазиупругой силы, х - смещение колеблющейся точки. Максимальная сила будет при максимальном смещении хmax, равном амплитуде:
(2)
Коэффициент k выразим через период колебаний:
(3)
Подставив выражения (1) и (3) в (2) и произведя упрощения, получим
Произведем вычисления:
Пример 8. Математический маятник, подвешенный на нити длиной l=0,5 м, совершает колебания с амплитудой А=2 см. написать уравнения, выражающие зависимость смещения x, скорости х и ускорения а этого маятника от времени колебаний. Чему равно ускорение а1 маятника при смещении x1=1 см? Начальную фазу б0 принять равной нулю.
Решение. При б0=0 зависимость смещения x маятника от времени t определяется уравнением x=A cos щt.
Нам не известна циклическая частота колебаний щ. Ее мы определим, воспользовавшись формулой, устанавливающей связь циклической частоты колебаний математического маятника с периодом Т:
,
где по формуле Гюйгенса
.
Тогда 
. 
Здесь не следует сокращать 2р, поскольку циклическую частоту щ удобно выражать в долях числа р.
Нам осталось подставить в эту формулу все численные значения величин, кроме одной переменной величины – времени t, которое мы оставим в буквенном обозначении. Выполнив вычисления, мы найдем зависимость смещения x от времени t, т. е. получим уравнение x=x(t).
Переведем все единицы в СИ:
2 см=0,02 м, 1 см = 0,01 м.
Выполним подстановку и вычисления:
, 
x=0,02cos1,4рt (1)
Мы определили искомую зависимость смещения от времени. Взяв производную выражения (1), мы найдем зависимость скорости от времени х = х(t):
х = x’=(0,02 cos 1,4рt)’= - 1,4р·0,02 sin 1,4рt = - 0,09 sin 1,4рt (2)
или 
Взяв теперь производную выражения (2), мы найдем зависимость ускорения от времени, т. е. функцию а=а(t): a = х′ = (-0,09 sin 1,4рt)′ = -1,4р·0,09 cos 1,4рt = -0,4 cos 1,4рt
Или a = 0,4 cos (1,4рt + р).
Чтобы найти ускорение а1 маятника, когда его смещение стало равно х1, сопоставим формулы (1) и (3). Запишем их для удобства рядом:
x = 0,02 cos 1,4рt, a = -0,4 cos 1,4рt.
Мы видим, что выражение cos 1,4рt в уравнении ускорения есть 
Следовательно, a1 = 0,4 
·
= -20 x1,
a1 = -20·0,01 = -0,2.
Знак «минус» означает, что колебания смещения x и ускорения а происходят в противофазе.
Ответ: x = 0,02 cos 1,4рt м,
х= 0,09 cos 
м/с, а1 = -0,02 м/с2,
а =0,4 cos(1,4рt+р) м/с2.
Пример 9. Баллон содержит 80 г кислорода и 320 г аргона. Давление смеси 1 Мпа, температура 300 К. Принимая данные газы за идеальные определить объем баллона.
Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева-Клапейрона парциальные давления Р1 кислорода и Р2 аргона выражаются формулами
Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов
или 
откуда объем баллона
Произведем вычисления, учитывая, что μ=32⋅10-3 кг/моль,
μ = 40⋅10-3 кг/моль:
Пример 10. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре 350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой 4 г.
Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия
где k-постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура газа.
Так по вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода
(1)
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа
(2)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
