Глава 3 Дифференциальные уравнения (стр. 2 )

Пусть дано ДУ 1 порядка, разрешенное относительно производной.

f(x, y). Причем f(x, y) непрерывна по двум переменным и имеет непрерывную производную по y в открытом и ограниченном множестве

D.  Тогда для любой точки существует решение задачи Коши

определенное и единственное в некоторой окрестности

  Примеры. Для -непрерывная

общее решение –

y(x)=F(x)+C,

x0 входит в область определения  F(x), y0-любое. Подставим значения в общее решение: y0=F(x0)+C0. Значит, C0=y0-F(x0) - решение y= F(x)+C0 найдено единственным образом. Теорема Коши выполнена. Пример не выполнения теоремы приведем поздже.

3.3 ДУ с разд. переменными, однородной правой частью.

Определение 5.

Уравнение при непрерывных называется уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения. Пусть  y(x)-решение. Тогда по определению решения

имеем . Подставим выражение производной через дифференциалы:

Пусть  g(y0)=0 в одной точке. Положим y=y0. Тогда  правая часть тоже равна 0.

Уравнение выполняется, т. е. мы нашли решение.

Если то на g(y) можно поделить. Получим

тождество можно проинтегрировать.

Пусть имеет первообразную G(y),  f(x)  имеет первообразную F(x). Тогда по теореме о замене переменной

Окончательно

общее решение  в неявном виде, к которому надо добавить  y=y0.

Пример.

ДУ с разделяющимися переменными.

y=0-решение. При

и y=0- общее решение.  Для любого Найдем C из  ,

оно определяется отсюда единственным образом.  Но при

через любую точку (x0, 0) проходит еще решение  . Т. е. единственности

при  y0=0 нет.

Действительно, там не выполнена теорема Коши, т. к. нет частной производной правой части по y в этих точках.

  Задание. Нарисуйте поле направлений  и интегральные кривые для этого  уравнения

Определение 6.

Уравнение с непрерывной f(x) называется уравнением с однородной правой частью.

Метод решения. Пусть  y(x)-решение.  Делаем замену зависимой переменной

Тогда  y(x)=u(x)x,

Подст авим в уравнение. Получим

Отсюда

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Решая, получим

то lnIxI=F(u)+C, x=CeF(u), 

-параметрическое задание решения.

При   Графиком решением является проходящая через  начало координат прямая. Поэтому она во всех своих точках совпадает с полем направлений. Это объясняет то, что она называется для уравнения инвариантным лучом.

Следствие. Все интегральные кривые уравнения с однородной правой частью

подобны. Пусть ,-два неинвариантных решения. Найдем отсюда

при одинаковых u Это и дает подобие любых неинвариантных решений.

Пример.

Уравнение с однородной правой частью.

Делаем замену

Тогда  y(x)=u(x)x,

Подставим в уравнение. Получим

общее решение. Т. к. eu не равно 0 и инвариантных лучей нет.

3.4 Линейные ДУ 1 порядка однородные и неоднородные.

Определение 7.

Уравнение   c непрерывными называется линейным уравнением. Если  ,

то  уравнение называется однородным, если  ,

то уравнение называется неоднородным.