Глава 3 Дифференциальные уравнения (стр. 3 )

Метод решения.

Теорема 1.

Пусть yчастн(x)-частное решение уравнения

.

yодн(x, C)-общее решение  однородного уравнения

Тогда общее решение неоднородного уравнения будет

yнеодн(x, C)= yодн(x, C)+yчастн.

Доказательство.

а)Подставим yнеодн(x, C)= yодн(x, C)+yчастн в уравнение.

Получим в силу предположения

.

Т. е. формула дает решение неоднородного уравнения.

  б)Получим, что приведенная  формула

дает любое решение неоднородного уравнения, т. е. является общим решением.

Действительно. взяв любое  решение неоднородного уравнения

y(x) , подставим в левую часть y(x)-yчастн(x).  Получим

Т. е. y0=y-yчастн –решение однородного уравнения и y=y0+yчастн - имеет требуемый вид.

Т. е. чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, надо найти

общее решение  однородного и частное решение неоднородного.

  Теперь мы можем изложить метод решения линейного уравнения

1 порядка.

Решаем однородное уравнение.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его.

Т. е.

-

общее решение однородного уравнения.

Замечание. Из формулы получаем, что множество решений линейного

уравнения первого порядка  есть линейное пространство размерности 1(все решения получаются из одного умножением на произвольную константу.

Ищем теперь решение неоднородного уравнения в виде

Так как здесь мы делаем изменяемой произвольную

постоянную, то этот метод называется методом вариации произвольной постоянной. Подставим это выражение в уравнение.

Произведя сокращение, получим

Справа стоит непрерывная функция, поэтому

существует  первообразная  C(x) и решение неоднородного уравнения

будет иметь вид

Согласно теореме 1 общее решение неоднородного получается сложением этого решения неоднородного и общего решения однородного.

Пример..

Решаем однородное

  2)Ищем методом вариации частное решение неоднородного.

Подставив, получим

Частное решение

  3)Общее решение неоднородного  уравнения

ДУ 2 порядка, решение, общее решение. Задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейные уравнения 2 порядка. Принцип суперпозиции. Свойство линейности решений однородного ДУ.

  Определение 8(ДУ 2 порядка, решение, общее решение) .

Дифференциальным уравнением 2 порядка называется соотношение

F(x, y,=0 (*),

где F(x, y,-функция 4 переменных.

Дифференциальным уравнением 2 порядка, разрешенным относительно производной,  называется соотношение

  f(x, y,) (**),

где f(x, y,)  - функция 3 переменных.

Функция y(x) , имеющая  две производных производную на интервале (a, b), называется решением ДУ(*) или (**), если при подстановке ее и ее производных  в это уравнение получаем тождество на (a, b):

F(x, y(x),=0 или

f(x, y(x),) для любого  x из  (a, b).

Функция y(x, С1C2) , где C1,C2-произвольные константы, имеющая  две производные по x на интервале (a, b), называется общим решением ДУ (**), если

фиксированных  C1,C2 эта функция является решением и любое решение ДУ получается при некоторых  C1,C2.

Замечание. Для уравнения,  не  разрешенного относительно производной,

общее решение может не записываться в таком виде.

  Пример.

Для

, где F(x)- первообразная для f(x), далее

y(x)=Ф(x)+C1x+C2, где Ф(x)-первообразная для F(x),

  Определение 9.(Задачи Коши)

Пусть дано ДУ 2 порядка, разрешенное относительно производной

f(x, y,) (**)

Пусть правая часть определена в области пространства D.

Задачей Коши для этого уравнения называется задача нахождения решения уравнения y(x), такого, что  y(x0)=y0, где (x0,y0,y1)

Часто эту задачу записывают кратко:

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 2 (теорема существования и единственности  Коши).

Пусть дано ДУ 2 порядка, разрешенное относительно производной.

f(x, y,)

Причем f(x, y,z) непрерывна по трем переменным и имеет непрерывные производные по y и z в открытом и ограниченном множестве