Глава 3 Дифференциальные уравнения (стр. 1 )

Глава 3 Дифференциальные уравнения.

3.1 ДУ 1 порядка, решение, общее решение, поле направлений, интегральная кривая. Примеры.

3.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности ее решения. Примеры.

3.3 ДУ с разд. переменными, д. у. с однородной правой частью.

3.4 Линейные ДУ 1 порядка однородные и неоднородные.

.

3.5 Линейные ДУ 2 порядка, решение, общее решение. Задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Принцип суперпозиции. Линейность пространства решений однородного уравнения.

3.6 Линейные ДУ 2 порядка с пост. коэффициентами. Однородные ДУ, ФСР. Примеры.

3.7  Неоднородные ДУ  со специальной правой частью. Частное решение.. Примеры.

3.1 ДУ 1 порядка, решение, общее решение, интегральная кривая. Примеры.

Мы на самом деле уже встречались  с  дифференциальными уравнениями при нахождении неопределенного интеграла. Действительно  нам было задано соотношение

. Надо было найти все функции, для которых это равенство верно. Было получено, что если непрерывна, то у нее существуют первообразные, и все они задаются формулой: , где С-любая константа.  На самом деле y=F(x)+C является здесь общим решением дифференциального уравнения

.

  Дадим строгое определение дифференциального уравнения (ДУ) 1 порядка

и его решения.

  Определение 1(ДУ 1 порядка, решение, общее решение) .

Дифференциальным уравнением 1 порядка называется соотношение

F(x, y,(*) ,

где F(x, y,-функция 3 переменных.

Дифференциальным уравнением 1 порядка, разрешенным относительно производной,  называется соотношение

f(x, y) (**),

где f(x, y) - функция 2 переменных.

Ф

ункция y(x) , имеющая  производную на интервале (a, b), называется решением ДУ(*) или (**), если при подстановке ее и ее производной в это уравнение получаем тождество на (a, b):

F(x, y(x),(*)  или

f(x, y(x)) (**).

Функция y(x, С) , где C-произвольная константа, имеющая  производную по x на интервале (a, b), называется общим решением ДУ (**), если

фиксированного  C эта функция является решением и

любое решение ДУ получается из этой формулы  при некотором  C.

Замечание. Для уравнения,  не  разрешенного относительно производной,

общее решение может не записываться в таком виде.

Например,

Тогда . Здесь F(x)-первообразная для f(x) .  Здесь при одном C получается 2 решения уравнения!

  Пример.

Для .

Любая первообразная y(x)=F(x) для  будет решением этого уравнения,

а общее его решение –множество всех первообразных, т. е.

y(x)=F(x)+C,

Изобразим на рисунке графики всех решений этого уравнения( рис.1).

Из вида общего решения следует, что достаточно нарисовать график одного решения, все остальные получаются сдвигом этого графика параллельно оси и их сдвиги по осиY.

Из рассмотрения графика решения и исходного уравнения получим, что в любой точке (x, y(x))  плоскости, где определено решение, график  имеет касательную

с коэффициентом наклона . Заметим, что тангенс наклона касательной известен из уравнения ранее, чем мы его решили. Т. е. множество касательных к решениям мы можем нарисовать, как только задано уравнение.  И так будет для любого  уравнения 1 порядка, разрешенного относительно производной. Дадим соответствующее определение.

  Определение 2.

Пусть дано ДУ 1 порядка, разрешенное относительно производной

f(x, y).

Пусть правая часть определена в области плоскости D.

Тогда полем направлений для этого уравнения в области D называется множество прямых, имеющих каждая в своей точке (x, y)  угловой коэффициент k=f(x, y).

  (Можно заметить, что это прямые есть касательные в каждой точке к будущим решениям)

  Определим теперь интегральную кривую, как кривую, касательная в каждой точке к которой совпадает с  прямой, соответствующей этой точке в поле направлений.

  Пример Для все касательные к некоторой первообразной  y(x)=F(x) и их сдвиги по оси Y будyт  образовывать поле направлений (рис.2).

Замечание. Для уравнения, не разрешенного относительно производной,

поле направлений для каждой точки может не быть однозначно определено.

Например Тогда Если f(x) то через точку (x, y)

Проходит 2 касательных к решениям.

3.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности ее решения. Примеры.

Обычно интересуются не только нахождением всех решений ДУ, но также

решения,  график которого проходит через заданную точку области, где определено уравнение. Для уравнения, разрешенного относительно производной эта задача может быть однозначно разрешима. Для неразрешенного это неверно, например для Тогда

  Приведем соответствующие определения.

Определение 3.

Пусть дано ДУ 1 порядка, разрешенное относительно производной.

f(x, y).

Пусть правая часть определена в области плоскости D.

Задачей Коши для этого уравнения называется задача нахождения решения уравнения y(x), такого, что  y(x0)=y0, где (x0,y0)

Часто эту задачу записывают кратко:

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1 (теорема существования и единственности  Коши).