Глава 3 Дифференциальные уравнения (стр. 5 )

Ему соответствуют решение 

Проверьте, что в этом случае  тоже решение! Их отношение есть x, тоже не константа, значит, они линейно независимы, следовательно образуют ФСР и общее решение имеет вид

y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x)=

.

Пример.

Характеристическое уравнение

Корни  кратный корень

- ФСР,

y(x)=-общее решение однородного уравнения.

а)  характеристическое уравнение  имеет 2 различных комплексных корня

Им соответствуют решения  Их отношение

-не константа, значит, они линейно независимы, следовательно образуют ФСР и общее решение имеет вид

y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x) =

.

Плохо только, что эти решения  комплексные. Так как пространство решений

линейно, и функции из ФСР комплексно сопряжены, то решениями будет действительная

и мнимая часть каждого, 

Решения непропорциональны,  а значит независимы

и образуют ФСР. Они уже действительны.  Поэтому общее решение равно

.

Пример.

Характеристическое уравнение

Корни  комплексные.

- комплексная ФСР,

Действительная и мнимая часть первого

действительная ФСР.

y(x)= - общее решение однородного уравнения.

Неоднородные ДУ  со специальной правой частью. Частное решение.. Примеры.

Приведем способ нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью вида

f(x)=eax(Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx),  где

  Pn(x), Qm(x)- многочлены степеней n и m. Пусть N=max(n, m), k-

  кратность как корня характеристического уравнения, причем  k =0, если 

  –не корень  характеристического уравнения.

Тогда частное решение уравнения найдется в виде

y(x)=xkeax(TN(x)cosbx+RN(x)sinbx), где TN(x), RN(x)-многочлены степени

N

  Это утверждение дается без доказательства. Подтвердим его примером.

Пример.

f(x)=xex, a=1,b=0,n=1,m=1,N=1,-не корень, поэтому k=0.

Ищем решение в виде

y(x)=(Ax+B)ex.

подставив, получим

ex((Ax+2A+B+4Ax+4A+4B+4Ax+4B)=27xex.

Это тождество.

Поэтому 9A=27, 9B+6A=0.

A=3, B=-2.

Частное решение

y(x)=(3x-2B)ex.

По принципу суперпозиции, используя вид общего решения однородного

из примера к пункту б) предыдущего параграфа, получим общее решение

уравнения

y(x)=e-2x(C1+C2x)+(3x-2B)ex.