Глава 3 Дифференциальные уравнения (стр. 4 )

D.  Тогда для любой точки существует решение задачи Коши

определенное и единственное в некоторой окрестности

  Пример. Для  - непрерывная

, где F(x)- первообразная для f(x), далее

y(x)=Ф(x)+C1x+C2 ,где Ф(x)-первообразная для F(x),

Подставим начальные условия, получим систему

Отсюда  всегда однозначно

Т. е. решение существует и единственно.

Нам будут интересны линейные уравнений 2 порядка.

Определение 10.

Уравнение   ,где

Непрерывные на (a, b) функции, называется линейным уравнением 2 порядка. Если  ,

то  уравнение называется однородным, если 

,

то уравнение называется неоднородным.

Решение линейных уравнений 2 порядка аналогично решению линейных уравнений 1 порядка, а именно, верны теоремы

Теорема 3(принцип суперпозиции)

Пусть yчастн(x)-частное решение  линейного уравнения

yодн(x, C1,С2)-общее решение  однородного уравнения

Тогда общее решение неоднородного уравнения будет

yнеодн(x, C1,С2)= yодн(x, C1,С2)+yчастн(x).

  Доказательство полностью аналогично доказательству для уравнений 1 порядка. Рекомендуем привести его самостоятельно.

Аналогично замечанию  1 к пункту 1 метода решения линейного уравнения первого  порядка  верна теорема

Теорема 4(линейность пр-ва решениий).

Множество решений  линейного однородного уравнения 2 порядка

является линейным пространством  размерности  2, т. е.

для 2-х линейно независимых решений y1(x)  и y2(x) общее решение однородного уравнения будет иметь вид y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x).

  Эту теорему можно вывести из теоремы существования и единственности

Коши, которая для линейных уравнений отличается тем, что решение

с заданными  начальными данными единственно не в окрестности начальной точки, а на всей области определения уравнения.  Т. е множество решений  и множество начальных данных находятся во взаимно однозначном соответствии, сохраняющем линейные операции-сложения и умножения на число. Так как  начальные данные-

независимые пары чисел и образуют двумерное  векторное пространство, то в силу взаимно однозначного соответствия множества решений и множества начальных данных, то же верно и для множества решений.

Это рассуждение служит пояснением к доказательству, но при этом  оно  может быть оформлено в виде строгого доказательства, чего мы не делаем.

  Эта теорема дает повод для следующего определения.

  Определение  11

Любые 2 линейно независимые решения линейного уравнения 2 порядка

называются фундаментальной системой решений (ФСР)

  Действительно по предыдущей теоремы любая  ФСР y1(x)  и y2(x)  позволяет записатьобщее решение однородного уравнения

y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x), где С1, С2-произвольные постоянные..

  Значит, чтобы решить однородное уравнение надо найти ФСР.

Эти общие теоремы для линейных уравнений 2 порядка  будут далее

использоваться при решении линейных уравнений 2 порядка с постоянными коэффициентами.

3.6 Линейные ДУ 2 порядка с постоянными  коэффициентами. Однородные ДУ, ФСР. Примеры.

Определение 10.

Уравнение   ,где

числа, называется линейным уравнением 2 порядка с постоянными коэффициентами. Если  ,

то  уравнение называется однородным, если 

,

то уравнение называется неоднородным.

1.Займемся решением  однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение  будем искать в виде Тогда имеем

Подставив, получим

Сокращая на  получим

Это квадратное уравнение относительно

,

каждому решению которого соответствует решение дифференциального уравнения

Это квадратное уравнение  называется характеристическим уравнением  для рассматриваемого дифференциального.

  Рассмотрим различные случаи для характеристического уравнения

а)  характеристическое уравнение  имеет 2 различных действительных корня

Им соответствуют решения  Их отношение

-не константа, значит, они линейно независимы, следовательно образуют ФСР и общее решение имеет вид

y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x) =

.

Пример.

Характеристическое уравнение

Корни 

Действительные и различные.

- ФСР,

y(x)=-общее решение однородного уравнения.

б)  характеристическое уравнение  имеет 1 кратный действительный  корень