Я получил разрешение на возведение в квадрат, решаю равносильную систему:
.
Ответ: 
.
Убедитесь самостоятельно, что условию 
удовлетворяет только 
.
П р и м е р 38.
Решим неравенство 
.
1 способ
Я вижу: неотрицательное число 
больше 
, которое может принимать любые значения, но я знаю, что неотрицательное число может быть больше и положительного и отрицательного чисел.
Чтобы лучше все увидеть, я изображу положение этих чисел на числовой прямой:
Рис.21
Поэтому я сразу рассматриваю два случая: 
или 
. Первое условие дает нам право возведения обеих частей неравенства в квадрат.
Во втором случае правая часть отрицательна (
), возводить в квадрат нельзя, да надобности в этом нет, ведь при 
получается, что неотрицательное число больше отрицательного, а это верно всегда, когда неотрицательное число 
– имеет смысл, т. е. 
и получаю вторую систему.
Итак, исходное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств
или 
или 
Рис.22 Рис.23
Объединяя решение систем, получим
Ответ: 
.
2 способ.
Пусть 
, где 
, тогда
, а 
Получаем 
Рис.24
Возвращаемся к 
.
или 
Ответ: 
.
3 способ.
Построить в одной координатной плоскости графики функций 
и 
.
Рис.25
Точку пересечения графиков 
надо найти (обязательно!), решив уравнение 
, где 
.
или 
– верно,
– неверно.
Итак, 
. Графики пересекаются в точке 
. Если бы не требование 
, то у меня появилось бы еще одна точка, с абсциссой 
, но график говорит: это точка – мираж; 
– посторонний корень.
А далее очевидно: при каких значениях 
точки графика 
лежат выше точек графика 
? (больше – выше!)
На промежутке 
.
Ответ: 
.
П р и м е р 39. 
Это неравенство проще всего решается графическим способом, но только после решения предыдущего. Смотрю на рисунок и считываю ответ: 
.
Применение же первого способа приведет меня только к одной системе
Как она рождается?
Обратимся к рисунку.
Рис.26
, значит, 
располагается на числовой оси правее нуля (может и совпадать с нулем), число 
больше 
, поэтому оно находится правее и 
(или совпадать с ним).
Имеем: 
; обе части неотрицательны, – возводим в квадрат: 
. Подкоренное выражение 
сейчас
меньше или равно квадрата числа, а значит может быть положительным, отрицательным. Меня устроит только, если 
.
В неравенстве 
выражение 
могло быть больше нуля или меньше нуля, т. е. два случая, а в неравенстве 
может быть только положительным, т. е. один случай.
Решаем систему
.
Ответ: 
.
Второй способ принципиально не отличается в этом случае от неравенства 
.
П р и м е р 40. 
Р е ш е н и е.
Рис.27
Рис.28
Ответ: 
1 Пример из 6 класса.
2 Стенфордский конкурс – конкурс на решение задач по элементарной математике при университете в Калифорнии, США.
3 № 000 из учебника математики 6 класса.
4 Алгебра. 7 класс, учебник . № 000
5 , Алгебра. 8 класс. Задачник, стр.54, № 000.
6 задание, выполненное в классной контрольной работе Бычковым Александром.
7 Задача № 000, , Геометрия 7-9.
8 доказательство взято из журнала «Квант» №10 за 1981 год, стр. 41, В. Кучеров, Геометрические аналогии.
9 Третье доказательство можно найти в замечательной книге Ж. Адамара «Элементарная геометрия», часть I, стр. 114.
10 , Геометрия 7-9, п. 8.2.
11 Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы, под редакцией
12 Снова «Сборник задач…» .
13 Последние две задачи заимствованы из статьи Г. Генкина, Математика в школе, №7 – 2001 г., с. 62, где можно найти другие интересные алгебраические задачи, решаемые геометрическим способом.
14 Другой вариант подхода к теореме Вариньона можно обнаружить в книге , , Геометрия, М., Просвещение, 1972, с. 275.
15 в учебнике .
16 V соросовская олимпиада 1998-1999 гг.
17 задача V соросовской олимпиады 1999 года
18 Демонстрационный вариант ЕГЭ – 2007 года
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
