Я вижу, я действую! Учебно-методическое пособие (стр. 7 )

  =

  =, но , а это угол равнобедренного прямоугольного (легко видеть, что и и легко это доказать),

  Рис.12  который равен . Поэтому и 13.

  Продолжаем путешествия по геометрии.

  Рассмотрим теорему Пьера Вариньона, которая столь проста, что вызывает удивление ее публикация лишь в 1731 году.

  П р и м е р 19. Фигура, образованная путем последовательного соединения середин сторон четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади четырехугольника.

  Р е ш е н и е. 

1) Если в четырехугольнике провести диагонали и , то получим:

  и   откуда

и , т. е. в четырехугольнике противоположные стороны и равны и параллельны, а это значит,  что – параллелограмм, который называют параллелограммом Вариньона.

  Рис.13

2) Найдем его площадь.

  Следующие равенства очевидны:

.

  Площадь найдена. А чему равен периметр параллелограмма Вариньона?

, т. е. сумме диагоналей исходного четырехугольника14.

  П р и м е р 20.  Сформулируйте и докажите теорему, подсказываемую этими рисунками где и – средины сторон.

  Р е ш е н и е. 

  Рис.14  Рис.15

  На рисунке 15 четырехугольник невыпуклый. Для него, оказывается, теорема Вариньона тоже верна.

  Замечание.  Пьер Вариньон (Varignon) (1654-1722) – французский математик и механик, член Парижской Академии наук, профессор Коллеж де Франкс, труды его посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых чисел, геометрии, гидромеханике. В 1687 году в работе «Проект новой механики» он дал четкую формулировку закона параллелограмма, развил понятие момента сил и вывел так  называемую теорему Вариньона.

  Следующие задачи полезны тем, кто хочет успешно сдать ЕГЭ.

Решить неравенства:

  П р и м е р 21  а) ;

  П р и м е р 22  б) .

  Р е ш е н и е.  а)

  Решение задач на логарифмы должно начинаться с нахождения ОДЗ.

ОДЗ:  

  Что я вижу? Сравниваются два значения логарифмической функции : большему значению аргумента (2>1) соответствует меньшее значение логарифма, а это значит, что функция убывающая, поэтому основание логарифма удовлетворяет условию:

,

  тогда 

, что входит в ОДЗ

  Ответ: .

б) 

ОДЗ:  

  Так как 5>1 и , то это значит, что функция является возрастающей, поэтому пишу:

  Ответ:

  П р и м е р 23.

  а) Сравнить дроби и .

  – можно привести их к общему знаменателю, а затем сравнить дроби с одинаковыми знаменателями.

    .

  – можно найти частное от деление первой дроби на вторую. Если частное окажется больше 1, то первая дробь больше второй; если частное меньше 1, то первая дробь меньше второй; если частное окажется равно 1, то дроби равны.

.

  – можно найти разность дробей. Если разность – положительна, то мы из большей дроби вычитали меньшую; если разность – отрицательна, то первая дробь меньше второй; если разность равна 0, то дроби равны.

.

  – можно сравнить дополнения дробей.

до 1 не хватает ,

до 1 не хватает .

.

Правило легко формулировать самостоятельно.

  П р и м е р 24.

  б) Сравнить числа и .

: основание логарифма 10 и число 0,2 лежат по разные стороны от 1 на числовой прямой, поэтому <0.

: 0,2 – число находится в I координатной четверти, где косинус (абсцисса точки) положительна, то есть >0.

Итак,  .

  П р и м е р 25.

  в) Сравнить и .

Оценим . Имеем:

< < (почему это так?)