Я вижу, я действую! Учебно-методическое пособие (стр. 6 )

  Ж. Сименон, Записки Мегрэ, гл. 2.

  П р и м е р  15.

  Построим прямую и два угла (см. рис.):

прямой угол () и тупой () так, чтобы отрезок прямой будет их общей стороной. На других сторонах углов отложим равные отрезки и и

  соединим точки и . Так как 

  Рис.7  , то и не будут 

  параллельны.

  Через середины отрезков  и проведем к этим отрезкам перпендикуляры до взаимного их пересечения в точке (перпендикуляры обязательно пересекутся, ведь и не параллельны).

  равнобедренный, значит, и .

  по трем сторонам, следовательно .

  Тогда

  , т. е. или, что величина прямого угла равна величине тупого (?)

  Прокомментируйте решение задачи и вывод, который можно сделать, решив ее все-таки правильно.

  Маленькая подсказка содержится в цитате из книги Ж. Сименона.

  Пример 16.  Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Точка Е соединена с точками В, С и D.

  Доказать, что .

Р е ш е н и е.

  I) Очевидно, что (диагональ квадрата является биссектрисой прямых углов).

Поэтому , тогда , то есть осталось доказать, что .

  Изучаем сложившуюся ситуацию.

Что это за углы и ? Куда они входят?

Это острые углы прямоугольных треугольников и . А с ними связаны синус, косинус, тангенс и котангенс. Мне известно,

  Рис.8  что . Попробуем найти и .

Из   .  Из   .

  Если мы получили значения и , то их надо использовать. Как?

  Если требуется доказать, что , то естественно использовать формулу тангенса суммы двух углов

,

в которой все величины известны.

. 

Все!

  Если  1, то , учитывая, что эта сумма – сумма острых углов.

  Итак, доказано: .

II) Поищем чисто геометрический путь. Воспользуйтесь любым рисунком и решите задачу самостоятельно.

  Рис.9  Рис.10

  В этих рисунках замечательная идея для двух следующих примеров.

  П р и м е р 17.  Вычислить.

  Р е ш е н и е.  Я знаю: называется угол, принадлежащий интервалу (), тангенс которого равен .

  Я и буду строить углы , и  , собрав их в одном рисунке.

В прямоугольном  

В  

В   ( и ) .

Из этих равенств я получаю:

  =

+  =

  =

+ + = =++=

==

  Рис. 11  Итак, искомая сумма равна .

  П р и м е р 18. Вычислить .

  Р е ш е н и е.  Найти требуется сумму двух углов, которая зашифрована в символах . Поэтому надо сконструировать такие углы, что и .

Бумага в клетку облегчает мне эту задачу, после нескольких попыток я прихожу к такому рисунку:

Тогда решение вполне очевидно:

  +  =