Выпускная квалификационная работа на тему «Поведение коллективов автоматов на целочисленной прямой» по направлению 010500 - «Прикладная математика и информатика» (стр. 4 )

Из сказанного выше следует, что в момент времени состояния автоматов и  будут теми же самыми, что и в момент времени . В момент времени - теми же самыми, что и в момент времени . Таким образом в момент времени состояния автоматов и  будут теми же самыми, что и в момент времени . Следовательно в момент времени , где , состояния автоматов и    будут теми же самыми, что и в момент времени . Этот факт можно записать следующей системой уравнений:

 

Далее, из того, что было установлено, что для каждого из двух автоматов и  входной сигнал   будет неизменен в любой момент времени и из того что в момент времени , где , состояния автоматов и  будут теми же самыми, что и в момент времени , можно заключить что найдётся число , такое что начиная с некоторого момента i для автоматов и  выполняется следующая система уравнений:

  где  , 

Из этой системы следует система уравнений:

где  ,  ,

которая означает, что последовательность выходных сигналов коллектива из двух автоматов на целочисленной прямой является периодической с периодом и предпериодом , в том случае, если автоматы в каждый момент времени,  находятся на расстоянии большем . При этом, в данном случае максимальное количество тактов в предпериоде:

при ,

,

Максимальное количество тактов в периоде:

Рассмотрим случай б), когда автоматы и  находятся в зоне обзора друг друга конечное число раз. Доказательство периодичности выходных сигналов в данном случае сводится к доказательству периодичности выходных сигналов в случае, когда автоматы  и  не находятся на расстоянии не болоьшем ни в один из тактов, с той лишь разницей, что в данном  случае предпериод  , где ,- это число тактов, за которые автоматы  и  уже находились в зоне обзора друг друга конечное число раз, и в последующие такты уже не встретятся. При этом, в данном случае, максимальное количество тактов в предпериоде: