Введение в аэрогазодинамику (стр. 19 )

       Этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных линий.

       Функция тока ψ имеет физический смысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока  ψ1 и ψ2  (т. е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости xoy  будем предполагать равным единице

,

       где dS  - элемент живого сечения струйки, v - скорость, n - единичный вектор по нормали к элементу dS, S1 и S2 - границы сечения.

       Обозначим через α  угол, образуемый вектором с осью ox, тогда и будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,

,

       но , ,  поэтому

.

       Таким образом, разность значений функции тока на двух каких ни будь линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока.

       Из сопоставления

,

       следует

,  .

       Из теории функций комплексного переменного следует, что если выполняются условия Коши-Римана, то линейная комбинация

функций φ и ψ является функцией комплексного переменного z=x+iy, т. е.

.

Функция w  называется комплексным потенциалом, последний удовлетворяет уравнению Лапласа.

Найдём производную от комплексного потенциала

,

причём

,

где h1 и h2 - бесконечно малые величины высшего порядка. В пределе

.

Из этого выражения с учётом условий Коши-Римана следует

- это выражение называется комплексной скоростью.

       Модуль комплексной скорости даёт величину скорости

,

Рис. 58

. Введем кроме комплексной скорости ( рис. 58 ) , сопряжённую скорость .

Тогда

,

.

       Рассмотрим

.

       Тогда

- циркуляция,

- расход.

10.2. Примеры плоских течений

Однородный равномерный поток

Рассмотрим плоское прямолинейное и равномерное установившееся течение несжимаемой жидкости с одинаковой во всём потоке скоростью vx, параллельной оси ox. В этом случае

.

Отсюда

.

       Линии равных потенциалов  φ=const представляют собой прямые, параллельные оси ординат.

       Можно положить φo= 0 и k = 0, тогда

.

       Функцию тока найдём из условия

.

       Сетка такого плоского течения изображается семейством ортогональных прямых, параллельных осям координат, а комплексный потенциал равен

.

       Для прямолинейного течения несжимаемой невязкой жидкости со скоростью v, наклонённой к оси абсцисс под углом α, будем иметь

.

       Откуда

и

,

.

       Комплексный потенциал такого течения будет иметь вид

Источник и сток

В качестве следующего примера рассмотрим течения, которые носят название источника и стока.

       Пусть невязкая несжимаемая жидкость непрерывно возникает в некоторой точке Р и вытекает в неограниченное пространство с постоянным расходом Q и с одинаковой интенсивностью во всех направлениях ( рис. 59 ). Линии тока этого воображаемого источника будут представлять собой прямые, расходящиеся из точки Р. Это характеризует пространственный источник.

Источник  Сток

а                                        б        

Рис. 59

       Если жидкость течёт из неограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, течение называется пространственным стоком.

       Рассмотрим плоский источник и проведём из него как из центра несколько концентрических окружностей различного радиуса. Уравнение неразрывности - уравнение постоянства расхода через любую концентрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту, равную единице, в случае несжимаемой жидкости будем иметь

.

       Отсюда скорость

       и, следовательно,

,

.

       Откуда

.

       Интегрируя

,

где С - константа интегрирования, которая может быть принята равной нулю, если полагать, что на круге r = 1 функция  φ = 0.

       Для определения функции тока воспользуемся выражением

 

       откуда полный дифференциал

.

       После интегрирования имеем

,

и С = 0 при  y = 0.

       Следовательно

.

       Потенциал скорости источника φ(r)  может быть интерпретирован в виде семейства концентрических кругов различного радиуса, а функция тока ψ(θ)  в виде пучка прямых, исходящих из источника.

Вихрь

Рассмотрим комплексный потенциал

.

       Пусть А - действительное число

,