Введение в аэрогазодинамику (стр. 26 )

,

следующего из системы уравнений, связывающей параметры на ударной волне, скорость ударной волны определяется наклоном прямой, соединяющей точки начального и конечного состояния ( рис. 65 ).

Параметры газа  на ударной волне можно связать с числом Маха  M=vв/a1 :

,

,

.

       В пределе для сильных ударных волн при  М→∞, получаем :

, .

12.9. Гиперзвуковые течения. Формула Ньютона

       Гиперзвуковыми называются такие течения, при которых числа Маха в набегающем потоке существенно превышает единицу. Обтекание тел при больших сверхзвуковых скоростях вызывает значительное повышение температуры и плотности в сжатом слое в окрестности наветренной части поверхности тела. В газе начинается диссоциация, ионизация и другие процессы, приводящие к тому, что отношение удельных теплоемкостей стремится к единице. Толщина возмущенной области, расположенной между скачком и телом, уменьшается, так как угол скачка стремится к углу наклона поверхности. Молекулы невозмущенного течения тормозятся только в момент столкновения с поверхностью.

       Корпускулярную теорию взаимодействия газа с обтекаемым телом, близкую к гиперзвуковому приближению, предложил еще в XVII веке И. Ньютон.

       Согласно теории Ньютона, газообразная среда состоит из одинаковых и не взаимодействующих между собой частиц, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Скорость движения частицы до столкновения с поверхностью равна скорости невозмущенного потока, при столкновении частицы с элементом поверхности нормальная составляющая ее скорости становится равной нулю, а касательная составляющая при этом остается неизменной. Давление в данной точке при этом зависит только от ориентации соответствующего элемента поверхности по отношению к вектору скорости невозмущенного потока, а форма остальной части тела не влияет на давление в заданной точке.

       Теория Ньютона не дает возможности определить давление на участках поверхности, находящихся в аэродинамической тени.

Выведем формулу для определения коэффициента давления. Рассмотрим элемент поверхности dS с местным углом атаки ϑ ( рис. 66 ). Масса частиц, сталкивающихся в единицу времени с элементом поверхности равна ρ∞V∞SinϑdS. До столкновения с поверхностью проекция количества движения этой массы на направление нормали к элементу поверхности выражается в виде ρ∞V∞2Sin2ϑdS. После соударения с поверхностью нормальная составляющая количества движения равняется нулю. На основании теоремы импульсов изменении количества движения, происходящем в результате столкновения частиц с поверхностью, равно импульсу действующих сил

Рис. 66

ρ∞V∞2Sin2ϑ =p - p∞  . Разделив на скоростной напор, равный , получим коэффициент давления на поверхности тела .

Около криволинейной выпуклой поверхности на частицы газа действуют центробежные силы, которые уменьшают давление на поверхность. Поправка к формуле Ньютона, учитывающая влияние центробежных сил, была предложена Буземаном.

Тема 13

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1. Геометрическое и физическое подобие.

2. Подобие гидромеханических процессов.

3. Критерии подобия.

13.1. Геометрическое и физическое подобие

Теория подобия это учение об условиях подобия физических явлений. Теория подобия опирается на учение о размерности физических величин, служит основой для экспериментального и математического моделирования и дает методы анализа и обобщения экспериментальных и теоретических результатов. Предметом теории подобия является установление критериев подобия различных физических явлений и изучение с помощью этих критериев свойств самих явлений. Физическое подобие является обобщением элементарного и наглядного понятия геометрического подобия. При физическом подобии поля соответствующих физических параметров двух систем подобны в пространстве и времени. Например, при кинематическом подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений, при динамическом подобии реализуется подобие систем действующих силовых полей различной природы ( силы тяжести, силы давления, силы вязкости и т. д. ), механическое подобие ( например, подобие двух потоков жидкости или газа, подобие двух упругих систем и т. п. ) предполагает наличие геометрического, кинематического и динамического подобий, при подобии тепловых процессов подобны соответствующие поля температур и тепловых потоков.

Теория гидродинамического подобия - часть общей теории физического подобия, в которой одним из основных является понятие о сходственных величинах. Две величины  φА и φВ, имеющие одинаковый физический смысл, называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны соотношением

φА = mφ φВ,

где  mφ  - положительная безразмерная величина, одна и та же для всей группы величин φ .

       Например, точка  А  и  В  являются сходственными, если их радиусы-векторы  и имеют общее начало координат и связаны соотношением

= mr .

       Моменты времени  τА и τВ  сходственны, если имеют общее начало отсчета и связаны соотношением

τА = mτ τВ.

       Величины mi ( i = r, τ, ... ) называются масштабами ( константами ) подобия, а связи типа φА = mφ φВ - преобразованием подобия.

13.2. Подобие гидромеханических процессов

       Два гидромеханических процесса  А  и  В  называются подобными, если они удовлетворяют следующим требованиям :

1) математическое описание процессов А  и  В в одной и той же системе координат отличается только значениями входящих в него размерных величин, тогда как вид уравнений, связывающих эти величины, одинаков;

2) для любого значения величины φВ  процесса  В существует сходственное ей значение  φА = mφ φВ  процесса А;

3) безразмерные уравнения процессов  А  и  В  одинаковы.

Как вытекает из анализа уравнений движения вязкой жидкости, необходимым условием подобия двух потоков является одинаковость условий однозначности ( начальных и граничных условий ), сформулированных в безразмерных величинах, а также одинаковость безразмерных чисел подобия, составленных из параметров, заданных в условиях задачи.

13.3. Критерии подобия

Рассмотрим условия динамического подобия при обтекании тел потоком вязкого сжимаемого газа. Для этого запишем систему уравнений - неразрывности, количества движения, энергии и состояния газа, а также соответствующие граничные и начальные условия. При этом будем считать  μ = const, λ = const, cp = const. Примем за характерную длину некоторый линейный размер летательного аппарата L. Другими  характерными параметрами являются характеристики невозмущенного потока :  V∞ - скорость,  ρ∞ - плотность, р∞ - давление, T∞ - температура,  i∞ - энтальпия.

Введем безразмерные величины :

Здесь - единичный вектор массовой силы.

Преобразуем сначала уравнение количества движения и уравнение неразрывности, выражая в них все размерные величины через безразмерные, получим

Здесь символы означают, что дифференцирование производится в безразмерных координатах.

Уравнения являются размерными. Однако в них размерные величины представлены в виде коэффициентов с одинаковыми размерностями. В уравнениях такими размерными множителями являются

Поделив на любой из указанных размерных множителей, получим уравнения в безразмерной форме.

Для того чтобы получить критерии подобия, разделим обе части уравнения количества движения на величину . , а уравнения неразрывности - на . Тогда

Здесь

Аналогично выполняется обезразмеривание уравнения энергии. В уравнениях и граничных условиях будут содержится ряд безразмерных параметров, составленных из размерных величин :

число Фруда ,

число Рейнольдса ,

число Эйлера ,

число Струхаля ,

число Маха М = V/a,

число Прандтля  ,

число Нуссельта .

Здесь  L, V, F, p, а, Т - соответственно длина, скорость, массовая сила, давление, скорость звука и время, характерные для данной задачи.

       Число Рейнольдса представляет собой критерий вязкости и характеризует отношение инерционных сил и сил вязкости. Число Фруда определяет отношение инерционной силы к силе тяжести. Число Струхаля характеризует отношение конвективного ускорения движения частицы к локальному ускорению и учитывает нестационарность движения. Число Маха - критерий сжимаемости, характеризует отношение инерционной силы к силе давления. Число Прандтля является мерой отношения влияния вязкости и теплопроводности.

       Используя безразмерные числа , уравнение количества движения и неразрывности представим в следующем виде :

       Указанные необходимые условия являются также и достаточными для всех случаев, для которых доказана теорема существования и единственности решения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости.

       Числа подобия, составленные из параметров, заданных в условиях однозначности, называются критериями подобия. Из равенств критериев подобия в двух сравниваемых потоках вытекают соотношения между масштабами величин. При практическом моделировании обычно масштабы физических параметров ( например, вязкостей, плотностей жидкостей ), а также линейный масштаб задаются, а остальные масштабы вычисляются через них. Для обеспечения подобия необходимо, строго говоря, равенство чисел  Re  и  Fr  требует моделирования вязкости, что возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому на практике моделирование выполняется по одному главному числу, обеспечивающему подобие главной ( доминирующей в данном явлении ) силы. Соответственно опыту практического моделирования для подобия потоков со свободной поверхностью ( безнапорных ) должно быть обеспечено равенство чисел Фруда, а для напорных потоков - равенство чисел Рейнольдса ( вне области квадратичного сопротивления ). Число Эйлера при моделировании потоков несжимаемой жидкости обычно является неопределяющим и зависит от чисел Re  и  Fr. Для потоков сжимаемого газа число Эйлера связано с числом Маха соотношением  . Число Маха является в большинстве случаев определяющим критерием.

       Размерные физические параметры, входящие в критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиеся значения, одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия. Это свойство подобных систем и составляет основу моделирования.

       Практические применения теории подобия весьма обширны. Она дает возможность предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров сложных физических явлений. Теория подобия является основой для правильной постановки и обработки результатов экспериментов.