Введение в аэрогазодинамику (стр. 20 )

,

.

       Линии тока лучи  ε=const. Изопотенциальные линии - окружности.

       Найдём расход

,

,

,

- комплексный потенциал источника или стока мощности Q ( рис. 60 ).

Пусть А - чисто мнимое равное Вi, где В - действительное.

Источник                                Вихрь                

а                                         б                        

Рис. 60

,

,

- вихрь.

       4. Вихреисточник

Рассмотрим случай комплексного коэффициента при логарифме

.

Рис. 61

Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения двух потоков ,  , - комплексный потенциал вихреисточника ( рис. 61 ).

5. Диполь

       Рассмотрим комплексный потенциал ,

,

,  .

       Найдём семейство линий тока

,

.

       Линии тока - окружности с центрами на оси oy.

Рис. 62

Изопотенциальные линии - окружности с центрами на оси ox( рис. 62 ).        Диполь ,        где m - момент диполя.

10.3. Бесциркуляционное обтекание цилиндра

       Наложим плоский параллельный оси ox однородный поток со скоростью и комплексным потенциалом ( рис. 63 )

на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом

,

Рис. 63

.

Для определения функции тока отделим мнимую часть

.

Нулевая линия тока

представляет собой две кривые :

       1) окружность  ,

       2) ось ox  y = 0.

       Выберем произвольную до сих пор величину момента диполя равной

.

       Получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности радиуса а с центром в начале координат и оси ox.

       Остальные линии тока

.

       Движение происходит в двух областях - вне и внутри круга.

       Течение вне круга можем рассматривать как обтекание круглого цилиндра, с радиусом основания равным а плоскопараллельным потоком, имеющим на бесконечности скорость .

       Такому потоку соответствует комплексный потенциал

       Остановимся подробнее на внешнем течении. Найдём распределение скоростей в области .

       Найдём распределение скоростей на поверхности цилиндра

,

.

       Определим модуль скорости на контуре круга

.

       Отсюда следует, что при плоском безвихревом обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью скорость распределена по закону синуса.

       Максимальная скорость при

.

       Используя уравнение Бернулли, можно найти распределение давления

,

,

где Cp - коэффициент давления.

На рис. 64 показано распределение коэффициента давления по поверхности цилиндра.

а                                        б

Рис. 64

10.4. Циркуляционное обтекание цилиндра

       Циркуляционное обтекание цилиндра можно получить, если наложить на рассмотренное выше течение чисто циркуляционный поток от плоского вихря, расположенного в начале координат с направлением вращения по часовой стрелке. Сложив комплексные потенциалы указанных потоков, получим

.

       Наложение циркуляционного потока нарушает симметрию линий тока, так как на верхней поверхности скорость от чисто циркуляционного потока направлена в ту же сторону, что и скорость бесциркуляционного потока, а внизу скорость чисто циркуляционного потока направлена в обратную сторону. Вследствие сложения скоростей над цилиндром образуется область повышенных скоростей, а под цилиндром - пониженных.

       Суммарная скорость потока на поверхности цилиндра

.

       Положение критических точек А и В можно найти приравняв нулю скорость потока. Тогда

.

       Для    имеем две критические точки  А и В ( рис. ) . При увеличении  Γ  критические точки смещаются вниз. В случае, когда , получаем  , то есть критические точки сливаются в одну точку. При дальнейшем увеличении  Г, то есть , критическая точка сходит с цилиндра.

       Найдем распределение давления по поверхности цилиндра. Используя уравнение Бернулли, соотношение для коэффициента давления и распределение скорости на поверхности цилиндра, имеем

.

       Из соотношения следует, что распределение коэффициента давления симметрично относительно оси  у.  Поэтому при циркуляционном обтекании цилиндра, так же как при  Г = 0, сопротивление равно нулю :  Ха = 0 ( парадокс Даламбера ). При этом подъемная сила не равна нулю. Она определяется по формуле Жуковского.