Введение в аэрогазодинамику (стр. 24 )

       Используя уравнение состояния и соотношение , имеем

.

       Энтропия. При изучении течения газа часто используют понятие энтропии. Эта функция определяется дифференциальным соотношением

.

Найдём связь между энтропией и энтальпией

,

из первого закона термодинамики

следует

.

       При скоростях движения жидкости сравнимых со скоростью звука или их превышающих, на первый план выдвигаются эффекты, связанные с сжимаемостью жидкости. Такое движение на практике наблюдается в газах. Поэтому о гидродинамике больших скоростей говорят обычно как о газодинамике.

       Чаще всего в газодинамике приходится иметь дело с очень высокими значениями чисел Рейнольдса. За исключением отдельных случаев ( наиболее ярким из которых является отрыв сверхзвукового потока ) при высоких значениях числа Рейнольдса вязкость оказывается не существенной для движения газа практически во всем пространстве. Поэтому в газодинамике часто  газ рассматривают как идеальную жидкость.

       Движение газа имеет существенно различный характер в зависимости от того, является оно дозвуковым или сверхзвуковым.

       С изучением сверхзвуковых течений связано решение ряда практических проблем, возникающих при создании самолетов, ракет, турбин, снарядов, аэродинамических труб для получения потоков со сверхзвуковыми скоростями.

12.6. Характеристики заторможенного потока. Газодинамические функции

Параметры газа, соответствующие нулевой скорости потока, называются параметрами торможения. Давление, плотность, температура и энтальпия,  соответствующие этому состоянию называются давлением, плотностью, температурой и энтальпией торможения и обозначаются  po, ρo, To, io. Соотношение между местными параметрами потока и параметрами торможения определяются с помощью газодинамических функций τ, π, ε.

Аргументом газодинамических функций является число Маха

или коэффициент скорости . Где V - местная скорость потока,  а - скорость звука в газе,  - критическая скорость звука. Установим связь между числом Маха и коэффициентом скорости. Запишем уравнение энергии в виде

.

       Разделим уравнение на , получим

.

       Отсюда

или разрешив относительно числа Маха, имеем

.

Для вывода газодинамических функций запишем уравнение энергии

.

Умножим уравнение на и учтем, что . В результате имеем

.

Уравнение состояния газа , записанное для параметров торможения , позволяет получить соотношение

.

Из уравнения адиабаты по аналогии для параметров торможения имеем

.

Из последних трех равенств имеем

, .

Воспользуемся теперь выражением для газодинамической функции τ, запишем

,

.

Газодинамические функции широко используются для расчета изэнтропических течений газа. Во многих учебниках по газовой динамике они представлены в виде таблиц. Из выражений для газодинамических функций при М = λ = 1 критические параметры газа могут быть найдены через параметры торможения po, ρo, To

, , .

При практических расчетах используют еще одну газодинамическую функцию, называемую удельным секундным расходом  q :

.

Воспользовавшись выражением для газодинамической функции  ε  а также связью между критическими параметрами и параметрами торможению, учитывая  , имеем

.

Нетрудно заметить, что при λ = 0  и  получим q=0. В первом случае расход равен нулю, так как газ неподвижен. Во втором случае p =  ρ = T = 0.

12.7. Волна разрежения

Слабые возмущения в газе распространяются со скоростью звука, влияние слабого изменения давления, вызываемого помещенным в равномерный сверхзвуковой поток источником возмущений ( например, телом ) не может распространятся вверх по потоку, а сносится вниз по потоку со скоростью большей скорости звука, оставаясь внутри так называемого конуса возмущений.

Рис. 59

При установившемся сверхзвуковом течении вдоль стенки с изломом ( рис. 59 ) возмущения, идущие от всех точек линий излома, ограничены огибающей конусов возмущений - плоскостью, наклоненной к направлению потока под углом μ, таким, что .

Далее за этой плоскостью поток поворачивается,  расширяясь внутри угловой области, образованной пучком плоских фронтов возмущений ( характеристик ), до тех пор, пока не станет параллельным направлению стенки после излома. Если стенка между двумя прямолинейными участками искривляется непрерывно, то поворот потока происходит постепенно в последовательности прямых характеристик, исходящих из каждой точки искривленного участка стенки. Параметры газа постоянны вдоль прямых характеристик. Такие течения называются течениями Прадтля-Майера ( рис. 60, 61 ).  Рассматриваемое течение имеет свойства конических, так как физические величины на любом из лучей не зависят от расстояния до центра разворота.

Рис. 60

Рис. 61

Будем считать течение потенциальным. Скорость в произвольной точке D в пределах сектора разворота удобно разложить на компоненты Vs  и  Vr, направленные вдоль луча и по нормали к нему. При этом Vs  нормальная к линии возмущения компонента скорости всегда звуковая Vs = a. Параметры газа на линиях возмущения не зависят от угла ε ( ε отсчитывается от нормали к передней линии угла разворота, поэтому потенциал течения в секторе АОВ можно представить в виде :

.

Найдем компоненты скорости

,

.

Решение задачи обтекания выпуклого угла состоит в нахождении зависимости газодинамических характеристик потока от их значений в набегающем потоке и угла поворота потока θ .

Рассмотрим в начале случай  М = 1. Воспользуемся уравнением энергии

,

где . Учитывая, что , получим

.

       С учетом связи компонент скорости, имеем

.