Конспект лекций по дисциплине Методы математической физики (стр. 2 )

в) тип уравнения – параболический.

Составляем характеристическое уравнение:

и определяем корни этого характеристического уравнения

Определяем новые переменные:

     

а) для уравнения гиперболического типа 

б) для уравнения эллиптического типа вводим переменные б и в

   

в) для уравнения параболического типа т. к. корень единственный выбираем переменные 

Находим частные производные по переменным   для чего дифференцируем

 

производные в (…) нужно посчитать, без (…) записать в общем виде.

Постоянные в уравнениях канонической формы:

2.6. Классификация задач математической физики:

а) задача Коши для уравнений гиперболического типа -

ставится следующим образом:

найти функцию

удовлетворяющую уравнению данного типа, в полупространстве при ,  и начальным условиям при

Для уравнений диффузии параболического типа -

задача Коши ставится следующим образом:

найти функцию

удовлетворяющую уравнению этого типа, в полупространстве при ,  и начальным условиям при

б) краевая задача для уравнений эллиптического типа –

ставится следующим образом:

найти функцию

удовлетворяющую уравнению данного типа, в области и граничным  условиям на границе следующего вида:

где заданные непрерывные функции на причем

Граничное условие 1-го рода

Граничное условие 2-го рода

Граничное условие 3-го рода

в) смешанная задача для уравнения колебаний гиперболического типа –

ставится следующим образом:

найти функцию

удовлетворяющую уравнению данного типа, в полупространстве при ,  и начальным условиям при и

при этом должны выполняться условия гладкости:

и условия согласованности:

2.7. О корректности поставленной задачи и единственности решения задачи математической физики.

Решение должно существовать в каком-то классе функций М1 . Решение должно быть единственным в некотором классе функций М2 Решение должно нейтрально зависеть от данных задачи (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов уравнения).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных.

Рассмотрим практически определение общих интегралов некоторых дифференциальных уравнения в частных производных:

Пример 1. Задана  

и диф. уравнение

следовательно любая произвольная функция - является решением данного уравнения.

Пример 2. Задано диф. уравнение

можно получить решение общего вида

где , произвольные дифференцируемые функции.

Пример 3.  Задана  

и диф. уравнение ;

проведем замену переменных

найдем частные производные:

получаем уравнение

следовательно получаем 

- любая дифференцируемая функция.

Пример 4.  Задано диф. уравнение

проведем замену переменных

найдем частные производные:

уравнение принимает вид  решением является

любая дифференцируемая функция  .

Пример 5 .  Задано диф. уравнение

проведем замену переменных