Конспект лекций по дисциплине Методы математической физики (стр. 4 )

Пусть — непрерывная функция на промежутке . Предположим также, что задача

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема Грина

Тогда существует единственное решение , удовлетворяющее системе

которое задаётся выражением

,

где — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

непрерывна по и . Для , . Для , . Скачок производной: . Симметрична: .

Нахождение функции Грина

В виде ряда через собственные функции оператора

Если множество собственных векторов (собственных функций) дифференциального оператора

(то есть набор функций , таких, что для каждой найдётся число , что )

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов и собственных значений .

Под полнотой системы функций подразумевается выполнение соотношения:

.

Можно показать, что

.

Действительно, подействовав оператором на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху обозначено комплексное сопряжение, если — вещественные функции, его можно не делать).

Для параболических уравнений

Уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных:

(2)

где — эрмитов оператор, - пространственные координаты

для уравнения теплопроводности

— температура, .

для уравнения Шредингера

— волновая функция, .

для уравнения диффузии

— концентрация вещества, .

Собственные функции оператора образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

.

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:

Подставляя в уравнение (2) предполагаемую форму решения, получаем:

.

Таким образом:

.

Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:

,

откуда

.

Следовательно, решение исходного уравнения (2) можно представить в виде:

.

Считая ряд (3) равномерно сходящимся, можно найти, что:

,

где — элемент объёма.

Из этой формулы следует:

Итак, если задано начальное состояние, то

Это уравнение можно представить в более удобной форме:

,

где:

.

Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).

Функция Грина для лапласиана может быть легко получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина, начнём с закона Гаусса :

.

Допустим и подставим в закон Гаусса. Вычислим и применим цепное правило для оператора:

.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор Лапласиан, , и то, что у нас имеется для него функция Грина . Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

.

Положим в теореме Грина. Тогда получим:

.

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа () и уравнение Пуассона () с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение всюду внутри заданной области, если (1) значение задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная задана на границе этой области (граничные условия Неймана).