Конспект лекций по дисциплине Методы математической физики (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирская государственная геодезическая академия»

(ФГБОУ ВПО «СГГА»)

Институт оптики и оптических технологий

Кафедра физики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Новосибирск

СГГА

СОДЕРЖАНИЕ:

Раздел 1. Введение

1.1. Предмет и задачи математической физики.

Дифференциальные операторы Гамильтона и Лапласа.

Раздел 2. Уравнения и задачи математической физики

2.1. Уравнения колебаний:

а) поперечные колебания струны;

б) продольные колебания упругого стержня;

в) поперечные колебания мембраны;

г) телеграфное уравнение.

2.2. Уравнение диффузии и теплопроводности.

2.3. Стационарные уравнения:

а) уравнение электростатики;

б) уравнение гидродинамики.

2.4. Классификация уравнений второго порядка:

а) классификация уравнений в точке;

б) классификация уравнений с двумя независимыми переменными.

2.5. Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных:

а) в уравнения гиперболического типа;

б) в уравнения параболического типа;

в) в уравнения эллиптического типа.

2.6. Классификация задач математической физики:

а) задача Коши;

б) краевая задача для уравнений эллиптического типа;

в) смешанная задача.

2.7. О корректности поставленной задачи и единственности решения задачи математической физики.

Раздел 3. Метод Фурье

3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

3.2. Задача Дирихле для круга. Интеграл Пуассона.

3.3. Задача Штурма-Лиувилля.

3.4. Фундаментальная система решений задачи Штурма-Лиувилля.

Разложение в ряд по собственным функциям.

3.5. Метод Фурье для случая двух переменных.

Раздел 4. Специальные функции и интегралы

4.1. Интегралы Эйлера (1-го и 2-го рода).

4.2. Функции Бесселя и Вебера. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя.

4.3. Интегральные представления для цилиндрических функций.

4.4. Разложение функций в ряды Фурье-Бесселя.

4.5. Сферические функции. Полиномы Лежандра. Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра.

Раздел 1. Введение

1.1. Предмет и задачи математической физики.

Дифференциальные операторы Гамильтона и Лапласа.

1.2. Декартовы координаты. Векторы. Базис. Операции над векторами. Скалярное произведение. Длина вектора, угол между двумя векторами. Ортогональность, коллинеарность, компланарность. Векторное произведение. Смешанное произведение. Определители второго и третьего порядков. Определители n - го порядка. Алгебраические дополнения и миноры.

Вычисление определителей разложением по столбцу или по строке.

1.3.. Прямая и плоскость, гиперплоскость. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

1.4. Матрицы и действия с ними. Симметричная, диагональная, единичная матрицы.

Ортогональная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений.

Теорема Кронекера – Капелли о совместности системы. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

1.5. Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

1.6. Комплексные числа и многочлены. Изображение комплексных чисел на плоскости.

Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Многочлены, разложение многочленов на множители, деление многочленов, теорема Безу о виде остатка.

1.7. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного

оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы.

1.8. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Нормы векторов и матриц.

Раздел 2. Уравнения и задачи математической физики.

2.1. Уравнения колебаний:

а) поперечные колебания струны:

где:

б) продольные колебания упругого стержня:

где: - площадь поперечного сечения стержня;

- модуль Юнга в точке ;

- внешнее усилие.

в) поперечные колебания мембраны:

 

если , тогда уравнение колебаний мембраны выглядит так:

где

граничные условия:

для жестко закрепленных краев  -

начальные условия:

г) трехмерное волновое уравнение:

д) телеграфное уравнение:

где - скорость передачи сигнала по кабелю.

2.2. Уравнение диффузии и теплопроводности:

Закон Фурье -

2.3. Стационарные уравнения:

при

переходит в уравнение Пуассона:

при

переходит в уравнение Лапласа:

а) уравнение электростатики:

заряд в единице объема  -

вектор напряженности электрического поля

б) уравнение гидродинамики.

где   - потенциал скорости;

2.4. Классификация уравнений второго порядка:

а) классификация уравнений в точке;

б) классификация уравнений с двумя независимыми переменными.

2.5. Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных:

где - заданные функции от

а) в уравнения гиперболического типа;

б) в уравнения параболического типа;

в) уравнения эллиптического типа.

преобразуется к виду:

Составить квадратичную форму уравнения:

Определитель квадратичной формы:

а) , , тогда можно записать

форма определенная и уравнение принадлежит к эллиптическому типу;

б) возможны 2 случая, когда и в зависимости от знак  меняется, то уравнение принадлежит к гиперболическому типу, если , то форма - неопределенная и уравнение принадлежит к гиперболическому типу.