Признаки равенства треугольников (стр. 4 )

Рассмотрим и : , , (доказано выше). Тогда по второму признаку равенства треугольников следует, что . Следовательно, .

Рассмотрим и . По теореме о сумме углов треугольника следует, что , .

Так как , , , (так как и - высоты треугольников и соответственно), то .

Рассмотрим и : , , (доказано выше). Тогда по второму признаку равенства треугольников следует, что . Следовательно, .

Рассмотрим и : (доказано выше), (доказано выше), (так как , , , ). Тогда по первому признаку равенства треугольников следует, что .

Задача 3.3. Если два угла и высота, опущенная из вершины одного из этих углов, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, опущенной из вершины одного из этих углов, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Докажем, что , если , , , где и - высоты треугольников и соответственно.

Рассмотрим и . Так как сумма углов любого треугольника равна , то , . Известно, что , , следовательно, .

Рассмотрим и : , , (доказано выше). Тогда по задаче 2 следует, что .

§ 4. Признаки равенства треугольников, связанные с биссектрисами

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла. На рисунке луч – биссектриса угла .

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Задача 4.1. Если угол, сторона и биссектриса, исходящие из вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе, исходящим из вершины данного угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Докажем, что , если , , , где и - биссектрисы треугольников и соответственно.

Так как и - биссектрисы треугольников и соответственно, то , .

Так как , , , , , то .

Рассмотрим и : , , (доказано выше). Тогда по первому признаку равенства треугольников следует, что . Следовательно, .

Рассмотрим и : , , (доказано выше). Тогда по второму признаку равенства треугольников следует, что .