Признаки равенства треугольников (стр. 1 )

Признаки равенства треугольников

(предметная область: геометрия)

       

Оглавление

§ 1. Основные признаки равенства треугольников        3

§ 2. Признаки равенства треугольников, связанные с медианами        4

§ 3. Признаки равенства треугольников, связанные с высотами        7

§ 4. Признаки равенства треугольников, связанные с биссектрисами        9

Список использованной литературы        12

§ 1. Основные признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (то есть стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон (то есть совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Теорема 1.1 («Первый признак равенства треугольников»). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники и , у которых , , углы и равны (см. рисунок). Докажем, что .

Так как , то треугольник можно наложить на треугольник так, что вершина совместиться с вершиной , а стороны и наложатся соответственно на лучи и . Поскольку , , то сторона совместиться со стороной , а сторона - со стороной ; в частности, совместятся точки и , и . Следовательно, совместятся стороны и . Итак, треугольники и полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично первому признаку равенства треугольников можно доказать следующие признаки.

Теорема 1.2. («Второй признак равенства треугольников»). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 1.3. («Третий признак равенства треугольников»). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

§ 2. Признаки равенства треугольников, связанные с медианами

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Задача 2.1. Если две стороны и медиана, проведенная к одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Докажем, что , если , , , где и - медианы треугольников и соответственно.

Так как и - медиана и соответственно, то , . А так как, , , , , следовательно, .

Рассмотрим и : , , . Тогда по третьему признаку равенства треугольников следует, что . В равных треугольниках все соответственные элементы равны. Следовательно, .

Рассмотрим и : , , (доказано выше). Тогда по первому признаку равенства треугольников следует, что .

Задача 2.2. Если две стороны, исходящие из одной вершины и медиана, исходящая из этой же вершины, одного треугольника соответственно равны двум сторонам, исходящим из одной вершины, и медиане, исходящей из этой же вершине, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Докажем, что , если , , , где и - медианы треугольников и соответственно.

Дополнительное построение. Построим точку такую, что и - середина отрезка . Построим точку такую, что и - середина отрезка .