Уравнение плоской волны. Принцип суперпозиции волн (стр. 2 )

Нетрудно убедиться, что записанные равенства (1.20, 1.21) удовлетворяют волновым уравнениям (1.13) и (1.14).
Учитывая, что

, ,
, , ,

а также, что   ,

запишем уравнения Максвелла в виде

, (1.22)
, (1.23)
, (1.24)
, (1.25)

Из уравнений (1.22) - (1.23) следует, что и перпендикуляры вектору - нормали к волновой поверхности, т. е. к направлению распространения точек, одинаковой фазы. Из уравнений (1.24) - (1.25) видно, что векторы образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов.
Структура плоской электромагнитной волны представлена на рис.1.2.

Рис. 1.2. Структура плоской электромагнитной волны

Из уравнения (1.24) выразим и подставим в (1.25):

.

Раскрыв двойное векторное произведение, получим

. (1.26)

Таким образом, фазовая скорость волны равна электродинамической постоянной. Только в этом случае записанные в (1.15) и (1.16) уравнения плоских волн для и будут являться решением уравнений Максвелла.
Кроме того, записав (1.24) или (1.25) в скалярном выражении и учитывая ортогональность векторов , и (1.26), получим

, и
. (1.27)

Так как , то .
Когда волна распространяется в среде с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью , то

или , где - скорость распространения волны в данной среде ().
В системе СГСЭ это можно записать в виде .

2.Сферическая электромагнитная волна

Волны, возбуждаемые точечным источником
Для сферической волны потенциал j и другие величины, характеризующие волновое движение среды (смещение, скорость смещения) зависят только от времени и расстояния r от некоторой точки пространства, называемой центром волны. Сферические волны возбуждаются в однородной и изотропной среде точечным источником - колеблющимся телом, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек среды.

Волновое уравнение для продольной сферической волны:

(1/r2)д(r2дj/дr)/дr = (1/c2) д2j/дt2. (1)

Общее решение (1) имеет вид:

j = (1/r)f1(ct - r)+(1/r)f2(ct + r), (2)

где f1 и f2 - произвольные функции, причем первое слагаемое (2) описывает потенциал для расходящейся сферической волны, а второе - потенциал для сферической волны, сходящейся к центру.

При распространении сферической волны ее волновые поверхности (геометрическое место точек среды, в которых фаза волны в рассматриваемый момент времени имеет одно и то же значение) представляют собой систему концентрических сфер (рис. 1).

ℜ⎩⎣⎨⎩®⎦∑ ⎪⎩®∑⌡⎨⎩⟩∫⎝ ⟩⎮∑⎝⎟∑⟩⎢⎩⎡ ®⎩⎣⎨⎦

€

€

∠⎝⟩. 1

Уравнение расходящейся синусоидальной сферической волны имеет вид:

j=(a0/r)sin(wt - kr + y0), (3)

где y0 - начальная фаза колебаний источника волн;

r - расстояние от источника;

а0 - амплитуда колебаний в точках среды, находящихся на расстоянии r0=1;

w - циклическая частота.

3. Групповая и фазовая скорости ЭМВ

Электромагнитная волна, колебания векторов электрического и магнитного поля которой задаются уравнениями (1.9), представляет собой физический процесс, протекающий с конечной скоростью, равной скорости света в среде, где она распространяется.

Выражение для полной фазы плоской гармонической волны получается из выражения для полной фазы произвольной волны при умножении её величины, измеряемой в единицах длины (метрах), на волновое число для пересчёта в радианы:

, где

Очевидно, полная фаза для рассматриваемой волны имеет постоянное значение на любой плоскости, параллельной плоскости :

Это соотношение можно рассматривать, как уравнение для определения изменения положения выбранной плоскости постоянной фазы волны во времени :

С помощью дифференцирования найдём скорость перемещения плоскости постоянной фазы, называемой фазовой скоростью : , совпадающей с (1.13b). Отсюда следует, что любая плоскость равной фазы для волны, представляемой функцией , перемещается со скоростью в положительном направлении оси . Плоскость равной фазы для волны , перемещается со скоростью в отрицательном направлении оси .

При рассмотрении свойств плоских электромагнитных волн мы ограничились случаем распространения волн вдоль оси . Это не ограничивает строгость полученных результатов, поскольку с помощью поворота (вращения) осей используемой системы координат можно совместить направление распространения волны с одной из координатных осей, например, с осью . Очевидно, величина перемещения плоскости равной фазы за время наблюдения не зависит от ориентации осей выбранной системы координат. Перемещение плоскости равной фазы волны отсчитывается вдоль перемещения волны, в направлении нормали к плоскости равной фазы, задаваемом единичным вектором . Если учесть, что уравнение плоскости, нормаль которой задаётся вектором (рис.1.10), имеет вид , где значение константы равно расстоянию от плоскости до начала координат, то величина перемещения волнового фронта, проходящего через начало координат при , за время наблюдения будет равно .