Уравнение плоской волны. Принцип суперпозиции волн (стр. 5 )

, (1.60)  и  , , (1.61)

где — сдвиг фаз между колебаниями. В соответствии с принципом суперпозиции =. С течением времени конец вектора описывает в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, некоторую замкнутую кривую. Выясним ее вид. Для этого обозначим Е1х(z, t)=Еx и Е2y(z, t)=Еy и запишем равенство (1.61) в виде

.

C помощью (1.59) исключим величины sin(t-kz) и cos(t-kz): 

.

Откуда    (1.62)

Рассмотрим следующие случаи.

1. , т. е. =+m, где m=0, ±1, ±2, ...
В таком случае,   (1.63)

Если E0xE0y, то соотношение (1.63) будет являться уравнением эллипса с центром в начале координат, причем его полуоси будут равны E0x и E0y и совпадут с осями Х и Y.
При z=0 уравнения (1.60) и (1.61) примут вид

, (1.64 )  . (1.65)

Из равенств (1.64) и (1.65) видно, что конец вектора вращается с угловой скоростью при четном m против часовой стрелки и при нечетном m — по часовой стрелке (рис 1.12).
Такой случай поляризации называется эллиптической поляризацией. В частном случае, если E0x=E0y, эллипс вырождается в окружность, т. е. конец вектора будет описывать окружность. При таком сложении волн возникает циркулярная поляризация.

2. соs0. В этом случае равенство (1.62) будет описывать эллипс, главные оси которого образуют некоторый угол с осями ОХ и ОY (рис 1.13).

3. , . С учетом этих условий равенство (1.62) примет вид

Полученное выражение описывает прямые

(1.66а)  и    (1.66б)

Рис 1.14. Вырожденный случай при сложении двух линейно поляризованных волн.

причем при результирующее линейное колебание будет осуществляться в первом и третьем (рис 1.14а), а при — во втором и четвертом квадранте (рис 1.14б).
На основании изложенного можно сделать вывод, что волна любой поляризации может быть получена в результате суперпозиции двух других, имеющих ортогональную поляризацию, т. е. для электромагнитных волн существуют две независимые взаимно перпендикулярные поляризации.

Линейно поляризованная волна как суперпозиция двух циркулярно поляризованных.
Рассмотрим суперпозицию волн с левой и правой циркулярной поляризацией. Пусть при некотором z=0 векторы и заданы выражениями

, , (1.67) , . (1.68)

Уравнения (1.67) описывают волну с правой, (1.68) — с левой циркулярной поляризацией.
В результате суперпозиции волн получим:

  и  ,

т. е. имеем волну с линейной поляризацией, причем линия колебаний совпадает с осью Х (рис 1.15).

Рис 1.15. Образование линейно поляризованной волны в результате сложения двух циркулярно поляризованных

Таким образом, любую линейно поляризованную волну можно представить как суперпозицию двух циркулярно поляризованных.

5.Формулы Френеля. Следствия: закон Брюстера, полное внутреннее отражение, потеря длины волны

Формулы Френеля

На рисунке изображены и обозначены соответствующими значками составляющие векторов напряженности электрического поля падающей волны , отраженной волны , преломленной волны .

Относительные значения этих величин следуют из граничных условий, налагаемых на электрическое и магнитное поле световой волны. Формулы, связывающие компоненты векторов , были впервые получены О. Френелем и носят название формул Френеля:

Эти формулы и позволяют рассчитать степень поляризации (20.3.1) отраженной и падающей волны для произвольного угла падения.

20.5.2. Закон Брюстера

Пусть угол падения i таков, что отраженный луч перпендикулярен преломленному, т. е. r = р/2 - iБр. Это условие называют условием Брюстера (см. рисунок ниже), а угол - углом Брюстера - iБр.

Используя закон преломления получим формулу, определяющую угол Брюстера: При выполнении условия Брюстера i + r = р/2, тогда из формулы Френеля для получим:

Таким образом, при выполнении условия Брюстера, отраженный свет будет полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Это утверждение носит название закона Брюстера.

Закон Брюстера имеет простое объяснение. Отраженная световая волна появляется за счет излучения электронов среды, совершающих вынужденные колебания под действием вектора преломленной волны. Это излучение имеет направленный характер (16.4.2.3): его интенсивность равна нулю в направлении колебаний зарядов. Направим под углом Брюстера на границу раздела плоско поляризованную волну с вектором , лежащим в плоскости падения.

На рисунке изображена диаграмма направленности излучения, возбужденного вектором . Нулевой минимум этой диаграммы при выполнении условия Брюстера совпадает по направлению с отраженным лучом.

Если вектор падающей волны направить перпендикулярно плоскости падения (рисунок ниже), то направление колебаний электронов будет перпендикулярно плоскости падения. Тогда диаграмма направленности будет развернута своим максимумом в направлении отраженного луча (рисунок ниже). Напомним, что пространственная форма диаграммы похожа на бублик без дырки (16.4.2.3).