Уравнение плоской волны. Принцип суперпозиции волн (стр. 3 )

С учётом сказанного, выражение для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид . В частности для плоской гармонической электромагнитной волны (1.9a): где - вектор амплитуды колебаний напряжённости электрического поля волны, располагающийся в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны.

Рассмотрим зависимость фазовой скорости электромагнитной волны от относительных значений диэлектрической и магнитной проницаемостей от параметров среды распространения. Из формулы (1.13c) следует, что в вакууме при фазовая скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света в вакууме. Это свойство электромагнитных волн является основанием одним из доказательств электромагнитной природы света.

В любой среде, где скорость распространения электромагнитной волны в раз меньше, чем скорость света в вакууме.

Величина определяющая изменение скорости света в среде по сравнению c вакуумом, называется абсолютным показателем преломления4 среды или оптической плотностью среды.

Выражение (1.14) известно, как соотношение Максвелла, впервые установившего зависимость скорости электромагнитных волн от параметров среды их распространения.

Из-за уменьшения в раз фазовой скорости электромагнитной волны в среде по сравнению со скоростью света в вакууме уменьшается её длина волны в среде в раз по сравнению со своим значением в вакууме. Действительно, за период колебаний волны волна проходит с меньшей скоростью меньший путь: , где - длина волны в вакууме.

По этой причине электромагнитная волна, прошедшая некоторое расстояние в среде с оптической плотностью получит приращение своей фазы в раз большее, чем при распространении в вакууме на тоже расстояние.

В заключении рассмотрим понятие групповой скорости электромагнитной волны. Необходимость рассмотрения наряду с фазовой скоростью также групповой скорости связана с негармоническими электромагнитными волнами. Оказывается, что электромагнитная волна с произвольной зависимостью от времени и координат точки наблюдения может быть представлена в виде суперпозиции плоских гармонических волн всевозможных частот.

В ряде случаев такая волна представляет собой некоторое ' возмущение ' электромагнитного поля, например, в виде импульса, равного нулю за пределами некоторого интервала (объема ) и промежутка времени (рис.1.11a). Такое волновое поле называют волновым пакетом, если амплитуды гармонических волн, составляющих рассматриваемое возмущение, ' заметно ' отличаются от нуля лишь внутри некоторого интервала ' вблизи' средней частоты 0 (рис.1.11b). Если , то волна называется почти гармонической или квазигармонической. Волновые пакеты представляют большой практический интерес при рассмотрении взаимодействия электромагнитных волн с веществом, широко используются для передачи информации и пр. Поэтому имеет физический смысл оценка скорости движения волнового пакета или группы волн.

Такая скорость называется групповой и обозначается символом . Оказывается, перенос энергии электромагнитной волной осуществляется со скоростью, равной групповой.

Расчет групповой скорости электромагнитной волны приводят к следующей формуле (см. задачу 1.3): Это выражение отличается от формулы для расчета фазовой скорости плоской гармонической волны частоты :

Это различие имеет очевидную физическую причину, поскольку каждая из составляющих волновой пакет гармонических волн вследствие различия их частот (2.13d) имеет свою фазовую скорость.

Можно показать, что фазовая и групповая скорости связаны между собой соотношением: где - скорость света в среде распространения электромагнитной волны.

Для плоских гармонических электромагнитных волн значения фазовой и групповой скоростей, рассчитываемых по формулам (1.17a) и (1.17b), совпадают.

Фазовая и групповая скорости

Фазовой скоростью v монохроматичной волны принято называть скорость распространения волнового фронта. В среде с показателем преломления n фазовая скорость х равна

(6.1)

Здесь – круговая частота, k – волновое число, c – скорость света в вакууме.

Как показывает опыт, все без исключения среды обладают дисперсионными свойствами – волны разных частот распространяются в средах с различными фазовыми скоростями. Это явление называют дисперсией. Закон дисперсии можно задать либо в виде зависимости показателя преломления от частоты , либо в виде функции , либо, наконец, в виде зависимости волнового числа от частоты . В качестве аргумента в законе дисперсии может быть вместо использована длина волны в среде.

При распространении монохроматической волны в среде с дисперсией никаких особых явлений не наблюдается; волна распространяется со своей фазовой скоростью, которая определяется значением показателя преломления на частоте волны. Но если в диспергирующей среде одновременно распространяется группа волн разных частот, то по мере распространения волн возникают фазовые сдвиги между отдельными спектральными компонентами. При этом происходит деформация формы суммарного процесса. Если на входе в диспергирующую среду возмущение имело вид импульса (волнового пакета) определенной формы, то после прохождения некоторого слоя форма импульса может существенно измениться. В общем случае наблюдается расплывание волнового пакета. Рис 6.1. иллюстрирует это утверждение.

По теореме Фурье волновой пакет 1 можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн разных частот. На выходе все спектральные компоненты будут вновь складываться, образуя новый волновой пакет 2. Деформация волнового пакета происходит вследствие изменения фазовых соотношений.

Рисунок 6.1. Расплывание волнового пакета в диспергирующей среде.

Вопрос о скорости распространения волнового пакета в среде с дисперсией достаточно сложен и неоднозначен. Можно, например, следить за перемещением переднего фронта (точка A на рис. 6.1). Обычно в теории рассматривается так называемая групповая скорость, то есть скорость перемещения центра волновой группы или точки с максимальным значением амплитуды (точка B).

Рассмотрим простой случай – распространение амплитудно-модулированной волны. При z = 0, то есть на входе в диспергирующую среду, колебание можно записать в виде

(6.2)

Этот процесс может быть представлен в виде суперпозиции трех синусоидальных колебаний с частотами , , :