Часть 2 Молекулярная физика и основы термодинамики Глава 8 Основы молекулярно-кинетической теории (стр. 2 )

, — масса и средняя квадратичная скорость молекулы.

Средняя энергия молекулы и температура

Основное уравнение МКТ можно переписать в виде:

Сравнивая с уравнением состояния , получаем

.

Таким образом, абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекулы.

Внутренняя энергия идеального газа , Дж — это кинетическая энергия поступательного и вращательного движения его молекул. В классической физике вводится закон равнораспределения, согласно которому на каждую степень свободы молекулы приходится одинаковая энергия, равная . Поэтому, в общем случае многоатомных молекул внутренняя энергия идеального газа: , где — число степеней свободы молекулы.

8.4. Закон распределения молекул по скоростям

Распределение молекул по скоростям Максвелла. В параграфе 8.3 мы ввели понятие средней квадратичной скорости, справедливо считая, что скорости конкретных молекул отличаются друг от друга даже в состоянии термодинамического равновесия:

.

Максвелл установил закон, определяющий число молекул из общего их числа в единице объема , которые обладают при данной температуре скоростями поступательного движения в интервале от до :

, где

— масса молекулы, — постоянная Больцмана.

На рис.8.7 приведена кривая распределения молекул по скоростям. Число частиц со скоростями в интервале от до равно площади криволинейной трапеции. Очевидно, что вся площадь, ограниченная кривой , равна концентрации молекул газа . С увеличением температуры газа максимум кривой смещается в сторону больших скоростей, а его высота уменьшается (рис. 8.8).

Наиболее вероятная скорость молекул

Из закона распределения молекул по скоростям можно определить наиболее вероятную скорость молекул . Решая задачу на экстремум функции ,

,

получаем  . Таким образом наиболее вероятная скорость молекул меньше средней квадратичной и зависит только от температуры и массы (молярной массы) молекул.

Закон максвелловского распределения молекул по скоростям может быть записан в виде: , где скорости молекул рассматриваются в единицах наиболее вероятной скорости .

Средняя арифметическая скорость молекул определяется интегралом

.

Таким образом, существуют три скорости, характеризующие состояние газа:

  — средняя квадратичная скорость;

— средняя арифметическая скорость;

  — наиболее вероятная скорость.

8.5. Барометрическая формула

В реальных земных условиях на молекулы газа всегда действует сила тяжести. Тяготение и тепловое движение приводят к тому, что концентрация молекул и давление убывают с высотой. Найдем закон изменения давления газа с высотой. По формуле Паскаля при увеличении высоты на бесконечно малую величину ,  давление газа понизится на :

.

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа и заменим плотность по формуле . Тогда,

  ⇒  .

Считая и интегрируя по высоте от до , получим:

, или 

  (барометрическая формула).

Здесь — давление газа на высотах и .

8.6. Явления переноса

Газообразное вещество представляет собой огромное число мельчайших частиц (молекул) диаметром м, пролетающих большие расстояния без соударений (в среднем м). Средняя арифметическая скорость равномерного движения молекулы при обычных температурах велика (м/с), поэтому столкновения происходят, в среднем, через с. Можно считать, что молекулы сталкиваются упруго.

Средняя длина свободного пробега , м — это среднее расстояние, которое проходит частица от одного соударения до следующего. Длина свободного пробега зависит от плотности частиц газа и от размеров молекул. С увеличение этих параметров должно уменьшаться.

Эффективным диаметром молекулы считается диаметр шарика , за пределами которого молекула почти не взаимодействует со своими соседями.

За единицу времени молекула сталкивается со всеми молекулами-мишенями, центры которых лежат в цилиндре объемом (рис. 8.9). Тогда средняя частота столкновений равна

.

Если учитывать движение молекул–мишеней в цилиндре, то это число увеличивается, так как эффективный диаметр молекул-мишеней при этом растет: . Средняя длина свободного пробега

.