В шестой главе “Разработка расчетных моделей оценки финансовых рисков с использованием искусственных нейронных сетей-классификаторов” обоснована возможность применения систем искусственного интеллекта для оценки финансовых рисков, как инновационного инструмента управления качеством. Приведены принципы построения, обучения нейронных сетей-классификаторов. Показаны алгоритмы предобработки исходных данных.

В заключении излагаются основные научные результаты, полученные автором в ходе диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Решена задача робастного трендового прогнозирования параметров процессов, как применение статистических инструментов управления качеством.

Международный стандарт ИСО 9001:2008 формулирует требования к разработке стратегии предприятия, его развития, а, следовательно, и к прогнозированию следующим образом: «Для создания системы менеджмента качества требуется стратегическое решение организации».

Прогнозирование с помощью трендов – один из методов статистического прогнозирования. При прогнозировании тренд, в основном, используют для долговременных прогнозов. Точность краткосрочных прогнозов, основанных только на подобранной кривой тренда, как правило, недостаточна. При долгосрочном прогнозировании для получения адекватного прогноза необходимо выполнение следующих условий:

    временной интервал, для которого построен тренд, достаточен для определения тенденции; анализируемый процесс устойчив и обладает инерционностью; не ожидается сильных внешних воздействий на изучаемый процесс

Тогда, получение прогнозных значений изучаемого процесса осуществляется путем подстановки в уравнение тренда

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

xt=tr(t)

Определяем значения независимой переменной t, соответствующей периоду упреждения ф. Получается точечная оценка прогнозируемого показателя по уравнению, описывающему тенденцию. Полученный прогноз является средней оценкой для прогнозируемого интервала времени, так как тренд характеризует некоторый средний уровень на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило,  отклонялись от него в прошлом.

На практике оценочные прогнозы выполняются с использованием линейного тренда:

trt = b0 + b1•t,  (1)

где b0, b1 – коэффициенты линейного тренда.

В современных экономических приложениях, когда определение коэффициентов линейного тренда по методу наименьших квадратов не дает хороших результатов, целесообразно воспользоваться инновационными ROBUST-алгоритмами. Данные алгоритмы достаточно сложны и основаны на итерационной корректировке начальных коэффициентов b0 и b1, полученных по методу наименьших квадратов.

Реализация ROBUST-алгоритма для определения коэффициентов линейного тренда выглядит следующим образом.

Пусть заданы два вектора значений – независимый t: {t1, t2,…, tn} и зависимый X: {X1, X2,…, Xn} (X=X(t)). Далее определяем начальные значения b00и b10по формуле (1). Вектор t преобразовывается в двумерную матрицу размерностью 2 х n следующим образом:

Далее проводится QR-преобразование матрицыТ (вычисление унитарной матрицы и верхней треугольной матрицы). В основе данного преобразования лежит представление матрицы в виде T=QR, где Q – ортогональная матрица (Q-1=QT), а R – верхняя треугольная матрица. Такое разложение существует для любой квадратной матрицы.

Известно несколько методик проведения QR-преобразования. Одной из таких методик является преобразование Хаусхолдера. Результатами преобразования являются матрицы Q[2 х n] и R[2 х 2]. Данный метод позволяет обратить в нуль группу поддиагональных элементов столбца матрицы.

Преобразование, указанное выше, осуществляется с использованием матрицы Хаусхолдера, имеющей следующий вид:

,                                        (2)

где н – произвольный нулевой вектор-столбец, Е – единичная матрица, ннТ – квадратная матрица того же размера.

Легко убедиться, что любая матрица такого вида является симметричной и ортогональной. При этом произвол в выборе вектора н дает возможность построить матрицу, отвечающую некоторым дополнительным требованиям.

Рассмотрим случай, когда необходимо обратить в нуль все элементы какого-либо вектора кроме первого, т. е. построить матрицу Хаусхолдера такую, что:

,        ,        .

Тогда вектор н определится следующим образом:

н =b+ sign(b1)||b||2e1,                                        (3)

где - евклидова норма вектора .

Применяя описанную процедуру с целью обнуления поддиагональных элементов каждого из столбцов исходной матрицы, можно на основе зафиксированного числа шагов получить ее QR-разложение.

Рассмотрим подробнее реализацию данного процесса. Положим А0=Т и построим преобразование Хаусхолдера H1 (A1=H1A0), переводящее матрицу A0 в матрицу A1 с нулевыми элементами первого столбца под главной диагональю:

.

Матрица ХаусхолдераН1 должна определяться по первому столбцу матрицы A0, т. е. в качестве вектора b в выражении (3) берется вектор . Тогда компоненты вектора н вычисляются следующим образом:

Матрица Хаусхолдера Н1 вычисляется согласно (2):

На втором шаге рассматриваемого процесса строится преобразование Хаусхолдера H2 (A2=H2A1), обнуляющее расположенные ниже главной диагонали элементы второго столбца матрицы А1. Взяв в качестве вектора b вектор размерности n-1, получим следующие выражения для компонентов вектора н:

Повторяя процесс n-1 раз, получим искомое разложение T=QR, где , .

Процедура QR-разложения многократно используется в QR-алгоритме вычисления собственных значений. Выполняется следующий итерационный процесс:

A(0)=Т,

A(0)=Q(0)R(0) – производится QR-разложение,

A(1)=R(0)Q(0) – производится перемножение матриц,

…………….

A(k)=Q(k)R(k) – разложение,

A(k)=R(k)Q(k) – перемножение.

Таким образом, каждая итерация реализуется в два этапа. На первом этапе осуществляется разложение матрицы A(k), в произведение ортогональной Q(k) и верхней треугольной R(k) матриц, а на втором – полученные матрицы перемножаются в обратном порядке.

При отсутствии у матрицы кратных собственных значений последовательность A(k) сходится к верхней треугольной матрице (в случае, когда все собственные значения вещественны) или к верхней квазитреугольной матрице (если имеются комплексно-сопряженные пары собственных значений).

Таким образом, каждому вещественному собственному значению будет соответствовать столбец со стремящимися к нулю поддиагональными элементами и в качестве критерия сходимости итерационного процесса для такихсобственных значений можно использовать следующее неравенство:

При этом соответствующее собственное значение принимается равным диагональному элементу данного столбца.

Каждой комплексно-сопряженной паре соответствует диагональный блок размерностью 2х2, т. е. матрица A(k) имеет блочно-диагональную структуру. Принципиально то, что элементы этих блоков изменяются от итерации к итерации без видимой закономерности, в то время как комплексно-сопряженные собственные значения, определяемые каждым блоком, имеют тенденцию к сходимости. Это обстоятельство необходимо учитывать при формировании критерия выхода из итерационного процесса. Если в ходе итераций прослеживается комплексно-сопряженная пара собственных значений. Соответствующему блоку, образуемому элементами j-го и (j+1)-го столбцов , то, несмотря на значительное изменение в ходе итераций самих этих элементов, собственные значения, соответствующие данному блоку и определяемые из решения квадратного уравнения, начиная с некоторого k, отличаются незначительно. В качестве окончания итераций для таких блоков может быть использовано следующее условие:

.

Недостатком предложенного алгоритма является большое число операций (пропорционально n3, где n – размерность матрицы), необходимое для QR-факторизации матрицы на каждой итерации. Эффективность QR-алгоритма может быть повышена, если предварительно с помощью преобразования подобия привести матрицу к верхней Хессенберговой форме, в которой равны нулю все элементы, находящиеся ниже главной диагонали за исключением элементов первой диагонали.  Предварительно производится следующая операция:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8