Профессиональный конкурс работников образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ – КОНКУРС

ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

2013/2014 учебный год

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 1 г. Свирска»

Номинация: Педагогические идеи и технологии: среднее образование

Методическая разработка

Урок по геометрии  в 10 классе.

" Правильная пирамида "

Автор: преподаватель математики

МОУ СОШ № 1г. Свирска

2013 год

ТЕМА: Правильная пирамида

ЦЕЛИ:

    Образовательная – сформулировать и доказать теорему о боковой поверхности правильной пирамиды, показать применение данной теоремы при решении задач; Развивающая – развитие логического мышления по средствам доказательства теоремы; Воспитательная – воспитывать самостоятельность по средствам самостоятельного поиска доказательства теоремы.

1. Подготовительный этап

Цель: актуализировать опорные

Знания:

- определение понятия пирамиды;

- понятие боковой грани пирамиды;

- определение понятия высоты пирамиды;

- определение понятия правильной пирамиды;

- определение понятия оси правильной пирамиды;

- понятие боковой грани правильной пирамиды;

- определение понятия апофемы;

- определение понятия боковой поверхности пирамиды;

Умения:

- распознавать пирамиду;

- распознавать правильную пирамиду;

- распознавать высоту треугольника;

- распознавать апофему пирамиды;

- строить правильную пирамиду;

- проводить апофему пирамиды.

Что такое пирамида?

- Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Что является боковой гранью пирамиды?

- Боковой гранью пирамиды является треугольник, одна из вершин которого является вершиной пирамиды, а противолежащая сторона основанием пирамиды.

Что называется высотой пирамиды?

- Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды.

Что называется правильной пирамидой?

- Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Что такое ось правильной пирамиды?

- Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. 

Что является боковой гранью правильной пирамиды?

- Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Что вы еще знаете о боковых гранях правильной пирамиды?

- У правильной пирамиды все боковые грани равны.

Найдите, на каком рисунке изображена пирамида, правильная пирамида.

   

  Рис 1  Рис 2  Рис 3

 

  Рис 4  Рис 5  Рис 6

  Рис 7  Рис 8  Рис 9

Что такое апофема правильной пирамиды?

- Высота боковой грани правильной пирамиды, проведена из ее вершины, называется апофемой.

На рисунке изображены правильные пирамиды, назовите апофемы.

 

  Рис 10  Рис 11

 

  Рис 12  Рис 13  Рис 14

Постройте в тетради треугольную правильную пирамиду и проведите апофемы.

Постройте правильную пирамиду, в основании которой лежит квадрат и проведите апофемы.

Дайте определение понятия боковой поверхности пирамиды.

- Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

2. Мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания

4. Мотивация необходимости доказательства теоремы

Прием:  показ необходимости знаний той или иной теоремы для решения практических задач.

Задача №1.

Строительной компании нужно рассчитать, сколько литров краски надо купить, чтобы покрасить крыши 15 домиков, стоящих на детских площадках, в желтый цвет. Если известно, что все крыши домиков имеют форму правильной четырехугольной пирамиды, основание которой равно 3 м, а длина бокового ребра 2,5 м. Расход краски на однослойное покрытие  1л на 8 м.

РЕШЕНИ:

- Какую форму имеет крыша домика? (пр. 4-ая пирамида)

- Что является боговой гранью травильной пирамиды? (равнобедр. тр-к)

- Что нужно найти, чтобы рассчитать расход краски на один домик? (Площадь боковых граней правильной пирамиды, т. е. боковую поверхность пирамиды)

- Как можно найти площадь одной боковой грани правильной пирамиды? (Найти площадь треугольника)

- Как найти площадь треугольника? ()

-  Чем будет являться высота этого треугольника для нашей пирамиды? (апофемой)

- Сколько у нас граней в нашей пирамиде? (четыре грани)

- Давайте попробуем записать, чему будет равняться площадь поверхности нашей крыши (правильной пирамиды)

где - основание треугольника, - высота треугольника, - число сторон пирамиды.

- Как дорешать задачу до конца?

А если крыши домиков будут иметь другую правильную форму пирамиды, что тогда?

Ответить на этот вопрос нам поможет учебник!

Читаем формулировку теоремы.

ТЕОРЕМА: Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

3. Работа над структурой теоремы

- О чем идет речь?

- Какие элементы тела нам даны?

- Что нужно найти?

Разъяснительная часть: правильная пирамида, основание пирамиды, апофема;

Условие: правильная пирамида, полупериметр основания и апофема ();

Заключение: произведение полупериметра основания на апофему в правильной пирамиде равно боковой поверхности.

5. Построение чертежа и выполнение краткой записи 

  Дано: -угольная пр. пирамида

  - основание пирамиды

  - апофема

  Доказать: 

  Доказательство: 

6. Поиск доказательства, доказательство и его запись

Вспомним к чему мы пришли в задаче №1


№

Утверждение

Обоснование

1

, где - основание треугольника, - высота треугольника,  - число сторон пирамиды;

из условия задачи

2

по определению апофемы пр. пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой);

3

из п.1, п.2

4

по переместительному свойству произведения

5

по определению периметра пр. многоуг-ка

6

из п.4, п.5.

  Ч. т.д.

7. Закрепление теоремы

7.1 Приемы проверки усвоения формулировки теоремы

- Переформулируйте теорему, используя слова «если», «то».

- Сформулируйте теорему, обратную данной, и подумайте, верна ли она.

7.2 Приемы проверки усвоения доказательства теоремы

- Использование «разрезанных теорем».

Задание 1: расположите в правильном порядке


№

Утверждение

Обоснование

1

 


из п.1, п.2

2


из условия задачи

3

по переместительному свойству произведения

4

, где - основание треугольника, - высота треугольника,  - число сторон пирамиды;

по определению апофемы пр. пирамиды;

5

по определению периметра пр. многоуг-ка

6

из п.4, п.5.


8. Применение теоремы

Задание 2. По чертежу определить конфигурацию, к которой можно применить данную теорему.

  1)  ABCD - квадрат

  АВ=2 см, SK=3см

2)  ABCDE – пр. 5-угольник

  АЕ = 1 см

  l = 1,6 см - апофема

3)  АВС – равнобедренный тр-к

  SF=5 м

Решение задач с применением данной теоремы

Задача № 2

Задача № 3

В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 14,76 м, а площадь полной поверхности 18 м. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Задача № 4

Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а площадь боковой поверхности равна  144 см.