Краткие лекции по технической механике для специальностей: 151031, 220703, 270843 (стр. 3 )

∑xi=0

∑yi=0

∑Mo=0

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно.

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

∑xi =0

∑MA=0

∑MB=0

Здесь ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

∑MA=0

∑MB=0

∑MC=0

В задачах такого типа число неизвестных плоской системы сил не должно превышать трех, иначе система станет статически неопределимой.

Равновесие произвольной пространственной системы сил

В случае равновесия твердого тела в пространстве можно составить шесть уравнений равновесия - три уравнения равенства нулю суммы проекций всех сил на оси x, y и z, а также суммы моментов относительно этих же осей:

∑xi =0; ∑yi =0;  ∑zi =0;

       ∑Mix=0; ∑Miy=0; ∑Miz=0.

из которых легко могут быть определены шесть неизвестных.

План решения таких задач общий для всех типов задач на равновесие.

  Опорные устройства балочных систем

Шарнирно-неподвижная опора может изображаться по-разному (рис.17, а или б). Она может быть заменена либо силой Rс углом б (рис.17, в), либо двумя силами, например, XA и YA (рис.17, г).

 

  Рис.17

Всегда можно перейти от R и б к XA и YA (и наоборот):

XA= R cosб; YA= R sinб;

Шарнирно-подвижная опора (рис.18, а) допускает (в данном случае) горизонтальное перемещение и не допускает вертикальное. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности (рис.18, б).

Рис.18

Связи шарнирно-неподвижной опоры в точке A и шарнирно-подвижной опоры в точке B отброшены (рис.19, б), их действие заменено силами XA, YA и RB.

Рис.19

Скользящая заделка – соединение стержня и втулки в плоскости (рис.20). Отбросим втулку – получим действие на стержень силы RD и MD момента.

Рис.20

Консоль (глухая или жесткая заделка) не допускает никакого перемещения детали. Реакцией такой опоры являются неизвестная по величине и направлению сила RA с углом б (или XA и YA ) и момент МA (рис.21).

Рис.21

На рис.22 –25 показаны примеры замены сил, расположенных в пространстве, их реакциями.

Шарнирно-неподвижная опора, или сферический шарнир (рис.22, а), заменена системой сил (рис.22, б) XA, YA и ZA, т. е. силой, неизвестной по величине и направлению.

Рис.22

Вал, закрепленный в опорах (рис.23), а показан: в точке A – подпятник или стакан, в точке B – втулка или подшипник. Действие опор заменено силами XA, YA, ZA и XB, ZB (рис.23, б).

Рис.23

На рис.24 и 25 приведены примеры замены различных связей их реакциями.

Рис.24

Рис.25

Правила знаков для сил и моментов в уравнениях статики

При составлении уравнений статики для систем находящихся в равновесии (например приопределении опорных реакций) правила знаков могут быть упрощены до следующего вида:
Нагрузки направленные в одну сторону принимаются положительными, а соответственно, нагрузки обратного направления записываются со знаком минус.

То есть, для уравнений сумм проекций сил на оси:
Проекции сил и нагрузок на координатную ось имеющие одинаковое направление принимаются положительными, а проекции усилий противоположного направления – отрицательными.
Например, для такой схемы нагружения:

уравнение суммы сил имеет вид

А так как суммы проекций разнонаправленных сил равны, то данное уравнение можно записать и так:

Здесь F(q) – равнодействующая от распределенной нагрузки, определяемая произведением интенсивности нагрузки на ее длину.

Для уравнений сумм моментов

Сосредоточенные моменты и моменты сил стремящиеся повернуть систему относительно рассматриваемой точки по ходу часовой стрелки записываются в уравнения с одним знаком, и соответственно моменты, имеющие обратное направление с противоположным знаком.
Например, для суммы моментов относительно точки A

получаем

или, что одно и то же

Здесь m(F) – моменты сил F относительно точки A.
M(q) – моменты распределенных нагрузок q относительно рассматриваемой точки.

При составлении уравнений равновесия статичных (неподвижных) систем (например, при определении опорных реакций), последние два правила упрощаются до вида:

Проекции сил и моменты, имеющие одинаковое направление принимаются положительными, а соответственно проекции сил и моменты обратного направления – отрицательными.

Решение задач на равновесие плоской и пространственной  системы сил

Пример 1 Балка длиной укреплена тремя стержнями, как показано на чертеже. На балку действует сила .

Определить усилия в стержнях, считая соединения стержней с балкой и опорой шарнирными. Весом балки пренебречь.

Дано: .

Найти: , , .

Решение: Расставим на рисунке все силы, действующие на плиту. Рассмотрим отсутствие вращения плиты вокруг точки:

,

Откуда выразим реакцию :

.

Рассмотрим равновесие относительно оси :

,

Откуда выразим реакцию :

.

Рассмотрим равновесие относительно оси :

,

Откуда выразим реакцию :

.

Пример 2. Определить опорные реакции балки (рис. a), концы которой шарнирно закреплены. Балка нагружена парой сил с моментом кНм.

Решение. Наметим направление реакций опор (рис.  б). Так как к балке приложена пара сил, то и уравновесить ее можно только парой сил. Следовательно, реакции опор равны между собой по величине, параллельны, но противоположно направлены. Заменим действие опор их реакциями. Правая опора А - плоскость, следовательно, направление опорной реакции RA перпендикулярно этой плоскости, а опорная реакция RB ей параллельна и противоположно направлена. Балка находится в равновесии, поэтому сумма моментов пар сил, приложенных к ней, равна нулю:

,

откуда

кН.

Ответ: кН.

Пример 3. Брус АВ с левой шарнирно-подвижной опорой и правой шарнирно-неподвижной нагружен тремя парами, моменты которых кНм, кНм, кНм. Определить реакции опор.