3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.
Если тело разделить на части, то каждая часть будет иметь свои координаты.
– как координаты её центра тяжести.
2. Если тело однородное, то вес отдельной части его 
, где 
- удельный вес материала, из которого сделано тело, а 
- объём этой части тела. И формулы (1) примут более удобный вид. Например,
И аналогично, 
где 
- объём всего тела.
3. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины 
где 
– площадь пластины, d – толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадей:
где 
– координаты центра тяжести отдельных пластин; 
– общая площадь тела.
4. Если тело состоит из стержней, прямых или криволинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их 
где li – длина, 
– вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков:
где 
– координаты центра тяжести 
-го участка; 
Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).
где L — длина всей линии, l — длины ее частей.
Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.
Способы определения координат центра тяжести.
Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
.
3. Дополнение. Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.
.
Центры тяжести некоторых однородных тел.
Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 32) прямыми, параллельными AD, на узкие полоски; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника.
Рис.32
Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.
При этом, как известно, 
Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом 
(рис. 33). Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на п секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа 
, эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса 
. Следовательно, центр тяжести сектора ОAB будет совпадать с центром тяжести дуги DE. Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его центральной оси симметрии на расстоянии от начального центра О, равном 
Рис.33
Пример 1. Определить центр тяжести однородного тела.
Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:
Объёмы их: 
.
Поэтому координаты центра тяжести тела
Пример 2. Найти центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже в см.
Координаты центров тяжести: 
Площади: 
Поэтому:
|
Пример 3. Найти центр тяжести листа. У квадратного листа 
см вырезано квадратное отверстие 
см.
В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:
координата 
так как тело имеет ось симметрии (диагональ).
Пример 4. Проволочная скобка состоит из трёх участков одинаковой длины l.
Найти центр тяжести скобы.
Координаты центров тяжести участков: 
, 
; 
, 
Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
