Решение. На лестницу действует только одна нагрузка – ее собственный вес, приложенный в точке C посередине длины лестницы AB. Вес лестницы уравновешен реакцией RA гладкой стены и реакцией шероховатого пола, которую заменим двумя составляющими: Rn – нормальной составляющей и Rf – силой трения (рис. б).
Составим три уравнения равновесия:
УFkx = 0, RA - Rf = 0;
УFky = 0, Rn - G = 0.
УMB(Fk) = 0, G(AB/2)sinб - RA⋅ABcosб = 0.
Далее получаем
Rf = RA = (Gsinб)/(2cosб) = (G/2)tgб = 60⋅tg20o = 21,8 Н.
Отсюда минимальный коэффициент трения, обеспечивающий равновесие лестницы
f = Rf /Rn = Rf/G = 21,8/120 ≈ 0,2.
Таким образом, при f ≥ 0,2 лестница будет находиться в равновесии.
Пример 3. Определить наименьший угол б наклона плоскости к горизонту, при котором цилиндр радиуса r =5 см начнет скатываться по плоскости, если коэффициент трения качения
д = 0,05 см. Проверить, возникает ли при этом сила трения скольжения, достаточная для осуществления качения цилиндра без скольжения, если коэффициент трения скольжения f = 0,08 .
Решение. Рассматриваем критический (пусковой) момент равновесия цилиндра, когда момент сопротивления качению принимает максимальное значение: Mcmax =Nд.
Отбрасывая связь, заменим ее действие на цилиндр силами реакции.
При этом на цилиндр, как на свободное твердое тело, будут действовать вес цилиндра G, нормальная реакция N наклонной плоскости, которая служит связью, сила трения скольжения Fтр, а также момент сопротивления качению Mc. Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил:
УFkx = 0, - Fтр + Gsinб = 0;
УFky = 0, N - Gcosб = 0;
УMA(Fk) = 0, - G⋅r⋅sinб + Mc max = 0.
Учитывая, что Mcmax = Nд, из второго уравнения получим
Mcmax = Nд = дGcosб.
Тогда третье уравнение примет вид
G⋅r⋅sinб +дGcosб = 0,
откуда
tgб = д/r = 0,05/5 = 0,01, => б = arctg0,01 = 0o35'.
Из первого уравнения имеем
Fтр = Gsinб = G⋅tgб⋅cosб = 0,01Gcosб,
в то время как максимальная сила трения скольжения
Fтрmax = fN = fGcosб = 0,08⋅Gcosб.
Отсюда видно, что условие Fтр ≤ Fтрmaxсоблюдается, а поэтому цилиндр начнет катиться по наклонной плоскости без скольжения.
Центр тяжести
Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил.
Пусть даны две параллельные силы 
и 
, направленные в одну сторону и приложенные к точкам 
и 
(рис.29).
Рис.29
Конечно, величина их равнодействующей 
. Вектор её параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона найдём точку приложения равнодействующей – точку С. По этой теореме 
Значит 
Отсюда 
То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками 
и 
на части обратно пропорциональные силам.
Если параллельные силы направлены в противоположные стороны (рис.30), то аналогично можно доказать, что равнодействующая по величине будет равна разности сил: 
(если 
), параллельна им, направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой – в точкеС. А расстояния от точки С до точек приложения сил обратно пропорциональны силам: 
Рис.30
Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей расположена на одной прямой с точками 
и 
, точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, равнодействующая также повернётся вокруг точки приложения С в том же направлении, и останется параллельной им.
Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил.
Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии действия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже переместится по линии действия.
Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил.
Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-вектор которой определяется формулой
, (1)
где 
- радиусы-векторы точек приложения сил; 
– величина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил (знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным).
Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если радиусы-векторы откладывать из начала координат, то проекции радиусов-векторов точек на оси будут равны их координатам. Поэтому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим
где 
– координаты точек приложения сил.
Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой.
а) общий случай
- интенсивность распределенной силы [Н/м],
- элементарная сила.
– длина отрезка
Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности 
эквивалентна сосредоточенной силе 
.
Сосредоточенная сила прикладывается в точке С (центре параллельных сил) с координатой
б) постоянная интенсивность
в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону
.
Центр тяжести тел.
На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действуют силы – силы тяжести этих точек или их вес 
. Вообще эти силы будут сходящимися – линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.
Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется центром тяжести тела.
Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его
(2)
где 
– вес каждой точки тела, а 
– вес всего тела.
Рис.31
При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
