Краткие лекции по технической механике для специальностей: 151031, 220703, 270843 (стр. 4 )

Решение. 1. На брус действуют пары сил, следовательно, и уравновесить их можно только парой, т. е. в точках А и В со стороны опор на брус должны действовать реакции опор, образующие пару сил. В точке А у бруса шарнирно-подвижная опора, значит, реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. е. в данном случае перпендикулярно брусу. Обозначим эту реакцию RA и направим ее вверх. Тогда в точке В со стороны шарнирно-неподвижной опоры действует также вертикальная сила RB, но вниз.

2. Исходя из выбранного направления сил пары (RA, RB) ее момент (или ).

3. Составим уравнение равновесия пар сил:

.

Подставив в это уравнение значения моментов, получим

.

Отсюда RA = 5 кН. Так как силы RA и RB образуют пару, то RB =RA = 5 кН.

Ответ: кН.

Пример 4. Однородный стержень AB весом Q = 20 Н в точке A закреплен шарнирно, а в точке C свободно опирается на опору C. На стержень AB действует пара с моментом M = 5 Нм, а к концу стержня B привязана веревка, перекинутая через блок D, на конце которой висит груз весом P = 5√2 Н.

Определить реакции шарнира A и опоры C, если AC = 2BC = 40 см, ∠ABL = 45o.

Решение. Реакция Rc опоры C направлена перпендикулярно к стержню AB. Направление реакции RA шарнира A неизвестно; поэтому раскладываем эту реакцию на две составляющие xA и yA, направленные по осям координат, причем ось Ax направлена вдоль стержня AB, а ось Ay перпендикулярна к нему.

Реакция веревки BD приложена к стержню в точке B и направлена вдоль веревки. Так как натяжение веревки BLK во всех ее точках одинаково, то реакция веревки T равна по величине весу груза P, т. е. T = P.

Составим три уравнения равновесия, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на координатные оси и сумму моментов этих сил относительно начала координат:

УFkx = 0, xA - Tcos45 = 0,

УFky = 0, yA + Rc - Q - Tcos45 = 0,

УMA(Fk) = 0, Rc⋅ AC - Q⋅ AE - T⋅ ABcos45 - M = 0.

Из первого уравнения находим

xA = Tcos45 = P√2/2 = 5 Н.

Из третьего уравнения, в котором

AC = 40 см, AB = AC + CB = 60 см, AE = AB/2 = 30см,

находим

Rc = (60⋅T⋅cos45 + 30⋅Q + M)/40 = (3/4)√2P + (3/4)Q + M/40 = 35 Н.

Подставив значение во второе уравнение, получим

yA = - Rc + Q + Pcos45 = Q + P√2/2 - (3/4)√2P - (3/4)Q - M/40 = - 10 Н

Пример 5. На вал ворота 1 намотана веревка, удерживающая груз Q. Радиус колеса 2 ворота в четыре раза больше радиуса вала.

Веревка, прикрепленная к ободу колеса и натягиваемая грузом силой F = 80 Н, сходит с колеса в точке K по касательной; радиус DK колеса образует с вертикалью угол

б = 60o.

Определить величину груза Q, при котором ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников A и B, если общий вес вала и колеса G = 600 Н и приложен в точке C (AC =0,4 м).

Решение. Три нагрузки – вес G и грузы Q и F, приложенные к вороту, уравновешиваются реакциями подшипников A и B.

Нагрузки действуют в плоскостях, перпендикулярных к оси вала, и, следовательно, не смещают вал вдоль оси, поэтому реакции подшипников расположатся в плоскостях, перпендикулярных к этой же оси. Заменим их составляющими RAx, RAy, RBx и RBy. Следует учесть, что обычный подшипник не создает реакции, направленной вдоль оси вала. Если на вал действуют нагрузки, смещающие вал вдоль оси, то один из подшипников должен быть заменен подпятником.

На рисунке а, б, в  изображен ворот со всеми действующими на него силами в трех проекциях. Составим уравнения равновесия:

УFkx = 0; Fcosб + RAx + RBx = 0;

УFky = 0; - Fsinб + RAy - G - Q + RBy = 0;

УMx(Fk) = 0; Fsinб⋅ AD - G⋅AC - Q⋅AE + RBy⋅AB = 0;

УMy(Fk) = 0; Fcosб⋅AD - RBx⋅AB = 0;

УMz(Fk) = 0; F - 4r - Q⋅r = 0.

Решив уравнения, получим

Q = (F⋅4⋅r)/r = 80⋅ 4 = 320 Н,

RBx = (Fcosб⋅ AD)/AB = (80cos60o⋅ 0,4)/1,4 ≈ 11,4 Н,

RBy = (- Fcosб⋅AD + G⋅ AC + Q⋅AE)/AB =

= (- 80cos60o⋅ 0,4 + 600⋅ 0,4 + 300⋅ 0,9)/1,4 ≈ 357 Н,

RAy = Fsinб + G + Q - RBy = 80sin60o + 600 + 320 - 357 = 632 Н,

RAx = - Fcosб - RBx = - 80cos60o - 11,4 = - 51,4 Н.

  Понятие о трении

При стремлении сдвинуть тело, лежащее на шероховатой поверхности, возникает сила реакции R, которая имеет две составляющие – нормальную N и силу трения Fmp (рис.26).

В теоретической механике обычно рассматривается только сухое трение между поверхностями, при этом различают трение при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

Рис.26

При покое сила трения зависит только от активных сил и может быть определена (рис.26):

Fmp=∑Fiф.

В результате экспериментов были установлены законы для сухого трения:

1) сила трения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного скольжения тела под действием активных сил. Величина силы трения зависит от активных сил и заключена между нулем и своим максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия:

0 ≤ Fmp≤ Fmpmax;

2) максимальное значение силы трения при прочих равных условиях не зависит от площади контакта трущихся поверхностей и пропорционально нормальной реакции:

Fmpmax= fN [Н],

где f – коэффициент трения, являющийся безразмерной величиной и зависящий от материала и физического состояния трущихся поверхностей.

Если твердое тело под действием активных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия (сила трения достигает своего максимального значения), то полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол ц, который называют углом трения (рис.27). При этом

Tgц =Fmpmax/N = f N / N = f.

То есть тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

Рис.27

Конусом трения называют конус, описанный линией действия полной реакции, построенной на максимальной силе трения, вокруг направления нормальной реакции.

Для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Вследствие деформации тел их касание происходит вдоль площадки AB, появляется распределенная система сил реакций, которая, согласно основной теореме статики, может быть заменена силой и парой (рис.28). Сила раскладывается на две составляющие – нормальную N и силу трения Fmp; пара сил называется моментом сопротивления качению MC.

Рис.28

При равновесии тела момент сопротивления качению определяется из условий равновесия системы сил. При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления, соответствующее началу качения, определяется равенством

MC max = дN [Нм],

где д – коэффициент трения качения, измеряемый в метрах и зависящий от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.

Пример 1. Тело A массой m = 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок B (рис. а).

Какой груз F можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела A? Коэффициент трения f = 0,4; трением на блоке пренебречь.

Решение. Определим вес тела A:  G = mg = 8⋅9,81 = 78,5 Н.

Считаем, что все силы приложены к телу A. Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес G и противоположно направленная реакция опоры RA (рис. б).

Если же приложить некоторую силу F, действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакция RA, уравновешивающая силы G и F, начнет отклоняться от вертикали, но тело A будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы F не превысит максимального значения силы трения Rf max, соответствующей предельному значению угла цo (рис. в).

Разложив реакцию RA на две составляющие Rf max и Rn, получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. г). Спроецировав эту систему сил на оси x и y, получим два уравнения равновесия:

УFkx = 0, F - Rf max = 0;

УFky = 0, Rn - G = 0.

Решаем полученную систему уравнений: F = Rf max, но Rf max = f⋅ Rn, а Rn = G, поэтому

F = f⋅ G = 0,4⋅ 78,5 = 31,4 Н.

Таким образом, равновесие тела A сохраняется при условии, что к концу нити, перекинутой через блок, подвешен груз, не превышающий по весу 31,4 Н. При этом масса груза F

m = F/g = 31,4/9,81 = 3,2 кг.

Пример 2. При каком минимальном коэффициенте трения между полом и лестницей последняя может находиться в равновесии, опираясь верхним концом о гладкую стену (рис. а)? Вес лестницы G = 120 Н.