Открытый урок по геометрии в 11 классе на тему
, учитель математики Острожской СОШ
Оханского района Пермского края
«Объемы тел вращения»
Тип урока: урок применения знаний и умений учащихся.
Форма урока: урок-практикум с элементами исследдования.
Цель урока: развивать у учащихся навыки применения теоретических знаний по теме «Объём цилиндра, конуса, шара» для решения задач, выявить отношение объёмов вписанных и описанных тел вращения.
Задачи:
Образовательные: совершенствовать умения учащихся применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения; показать практическую значимость данной темы в жизни человека.
Развивающие: способствовать формированию у учащихся ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов); развитию памяти, внимания, мышления и пространственного воображения учащихся, навыков самооценки и самоконтроля; навыков творческого подхода к решению задач, исследовательской работы над задачей.
Воспитательные: способствовать развитию устойчивого интереса и созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики; воспитанию ответственного отношения к учению.
Технологии: личностно-ориентированная, проблемно-исследовательская, индивидуально–дифференцированного обучения.
Методы обучения: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, проблемный.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, работа в парах.
Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, раздаточный материал.
План урока.
Организационный момент. Теоретическая разминка. Работа в группах, исследование. Домашнее задание. Итоги урока.Ход урока.
Организационный момент.
- Здравствуйте! Присаживайтесь.
Сегодня мы вновь отправимся в увлекательный мир геометрии, который вам откроет некоторые тайны, связанные с телами вращения.
- Какие тела вращения вам известны?
Возьмите в руки четырёхугольник, вращением которого можно получить цилиндр.
(демонстрируют)
- Когда объём цилиндра будет большим?
- Когда вращение вокруг меньшей стороны.
- Как можно получить конус? (демонстрируют)
- Как можно получить усечённый конус? (демонстрируют)
- Как можно получить шар? (демонстрируют)
Тема нашего урока: «Объёмы тел вращения ».
Мы продолжаем развивать навыки применения теоретических знаний по теме «Объём цилиндра, конуса, шара» для решения задач, выявим отношение объёмов вписанных и описанных тел вращения, ещё раз убедимся, что математика интересная и увлекательная наука, тесно связанная с жизнью и окружающим миром.
Теоретическая разминка.
Каждый записывает на листочке, один ученик на доске.
1) Запишите формулу для вычисления объёма цилиндра.
2) Запишите формулу для вычисления объёма конуса.
3) Запишите формулу для нахождения площади круга.
4) Запишите формулу для вычисления длины окружности.
5) Запишите формулу для вычисления объёма шара.
Взаимопроверка математического диктанта.
Практическая работа в группах.
1 группа.
В цилиндр вписан шар радиуса 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.
2 группа.
В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.
3 группа.
В цилиндр вписан шар радиуса 4. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.
-Давайте посмотрим, что у вас получилось?
Учитель записывает на доске результаты.
-Чему равно отношение объёма цилиндра к объёму вписанного в него шара?
Гипотеза: отношение объёма цилиндра к объёму вписанного в него шара равно3:2.
Доказательство утверждения в общем виде (записывают на доске и в тетрадях).
- В любой цилиндр можно вписать окружность?
Вывод: Мы доказали теорему Архимеда: «Объём равностороннего цилиндра в полтора раза превышает объём вписанного в него шара».
Историческая справка.
Архимемд — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. Задачи на вычисление объёмов геометрических тел интересовали учёных – математиков ещё с древности. Этим открытием он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета, благодаря чему через 200 лет в Сиракузах была найдена могила Архимеда. Сегодня вы доказали знаменитую теорему Архимеда и соприкоснулись с историей математики.
Устно.
Объём шара вписанного в цилиндр равен 40см3. Чему равен объём цилиндра?
Ответ: 60 см3.
Объём цилиндра равен 120. Найдите объём вписанного в него шара.Ответ: 80.
Рассмотрим ещё одну зависимость объёмов тел вращения.
1. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 32.
2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 60куб см.
3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 84.
Результаты прописываются на доске.
Гипотеза: Если цилиндр и конус имеют общее основание и высоту, то объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса.
Доказательство утверждения в общем виде.
Устно.
1.Объём цилиндра равен 30. Чему равен объём конуса с таким же основанием и высотой?
Ответ: 10.
2. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 21.
Решение проблемной (исторической) задачи.
Послушайте легенду восточных народов, рассказанную в трагедии «Скупой рыцарь».
«…Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу,-
И гордый холм возвысился,
И царь мог с вышины с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли…»
-Представьте иллюстрацию к отрывку.
Перед нами встала проблема: «Прав ли был , назвав получившийся холм «гордым»?»
- Переведём задачу на язык геометрии.
- Холм – это конус. Но какого объёма?
- Достаточно ли данных в задаче?
- Что нужно знать, чтобы найти высоту?
- Чтобы разобраться в поставленной задаче, надо составить её математическую модель и наметить этапы решения.
Записывается решение на доске и в тетрадочках.
Пусть 1горсть≈
литра=0,2 дм3
n =100000 (В древности войско в 100000 воинов считалось очень внушительным).
б=45° (Возьмем угол наклона образующей к плоскости основания конуса равным 45°. Взяв больший угол наклона, земля начнет осыпаться).
Vк = 0,2∙100000 = 20000дм3 = 20м3.
Так как H = R, то
, 
- Легенда звучит правдоподобно, но вы смогли доказать, что был неправ, назвав холм «гордым». Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м (
человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, вы получили бы еще более скромный результат. Таким образом, математика помогает критически относиться к художественным произведениям.
«Конус в нашей жизни» (презентация)
Домашнее задание (индивидуально):
Найдите объём стакана.
Вычислить объём пожарного ведра.
Задача № 000 учебник.
Придумать задачи на изученные зависимости объёмов тел вращения.
Итог урока. Рефлексия.
