Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 10, AC = 16.
Боковое ребро призмы равно 24. Точка P – середина ребра BB1 .
а) Найдите тангенс угла между плоскостями A1B1C1 и ACP.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости PAC.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB = 7
, а боковое ребро AA1 = 8. а) Докажите, что плоскость ВСА1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AA1 и середину ребра B1C1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.
3. Решите неравенство 
.
4. Решите неравенство 
5. Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D. а) Докажите, что прямые АD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если АK = 3 и MK = 12.
6. Сторона CD прямоугольника АBCD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны АD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что угол DMP равен углу CBM.
б) Известно, что CM=17 и СD=32. Найдите сторону AD.
7. 15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
8. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
9. Найдите все значения ɑ, при каждом из которых уравнение
ɑ2 + 11 | x+2 | +
= 5ɑ +2 | x
2ɑ +2|
имеет хотя бы один корень.
10. Найдите все значения ɑ, при каждом из которых система уравнений
х2 + 5х + у2 – у – | х – 5у +5 |=52,
у – 2= ɑ ( х – 5 )
имеет ровно два решения.
