Аналитическая геометрия: прямая в пространстве.

Определение. Уравнениями линии L в пространстве называют уравнения двух поверхностей:

которым удовлетворяют координаты точек, лежащих на L, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на линии L.

Простейшая линия в пространстве – прямая.



Общие уравнения прямой в пространстве

Векторное уравнение прямой в пространстве

Радиус-вектор текущей точки  М  -

Радиус-вектор заданной на прямой точки  М0  -

Параметрические уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой

Записав сумму векторов в координатной форме, получим параметрическе уравнения прямой



Канонические уравнения прямой в пространстве

  2.

  3.

  5. Уравнения прямой, проходящей через две точки

  Точки M1 (x1, y1, z1), M1  ∈  L  и  M2 (x2, y2, z2), M2  ∈  L; М(х, у, z) – текущая точка прямой. Направляющий вектор прямой : 

6. Основные задачи на прямую в пространстве

Задача 1. Перейти от общих уравнений прямой к каноническим.

Общее уравнение прямой:

Использовано векторное произведение векторов.

Задача 2. Найти угол между двумя прямыми (угол между направляющими векторами) в пространстве.

По известным из уравнений прямых направляющим векторам

найдем угол между ними  , который и будет углом между прямыми.

Задача 3. Записать условие параллельности прямых в пространстве.

  По известным из уравнений прямых направляющим векторам

  , зная, что , условием параллельности будет пропорциональность соответствующих коэффициентов векторов:

Задача 4. Записать условие перпендикулярности прямых в пространстве.

  По известным из уравнений прямых направляющим векторам

  зная, что , как и , условием перпендикулярности будет

В координатной форме это условие следует из скалярного произведения векторов

  7. Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве

Плоскость определена общим уравнением и нормалью

Прямая определена уравнением и направляющим вектором

Используя знания векторной алгебры, рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Найти угол между прямой и плоскостью.

Задача 2. Записать условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Задача 3. Записать условие параллельности прямой и плоскости.

Замечание.  Все условия записаны в векторной и координатной формах.