Пространство и размерность. Эксперименты с листом Мебиуса (стр. 1 )

Урок № 1

Пространство и размерность.

Эксперименты с листом Мебиуса.

  Из того, что мы знаем, нам многое

  неизвестно.

  Шутка математика.

Как мы установили в 5 классе, геометрия изучает форму  и взаимное расположение фигур в пространстве. Это то пространство, которое окружает нас.

Задание 1. Предположим, вам нужно описать большой дом. Попробуйте сделать это в наиболее корректной форме, просто и понятно.

Таким образом, вам понадобилось всего три величины - длина, ширина и высота. Эти три измерения мы используем ежедневно, говоря об окружающих предметах: высота дерева, ширина тротуара, длина дороги. Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения, хотя далеко не у всех можно указать длину, ширину высоту. Но вы знакомы с телом, которое полностью описывается этими тремя измерениями и является символом нашего пространства. Это прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Таким образом, пространство в котором мы живем, является трехмерным. В нем живем мы с вами и все окружающие нас предметы, включая геометрические фигуры и тела.

А теперь представим себе, что высота исчезла. Весь мир стал плоским, как лист бумаги, остались только два измерения: длина и ширина, осталась только плоскость. В математике говорят, что плоскость является двумерным пространством.

Задание 2. Какие геометрические фигуры могут "жить" на плоскости?

Продолжим наш эксперимент, уберем ширину. Останется одномерное пространство, мир, который полностью лежит на прямой.

Задание 3. Какие геометрические фигуры могут "жить" на прямой?

Задание 4. Все ли фигуры, которые "живут" в пространстве, могут жить на плоскости? Все ли фигуры, "живущие" на плоскости, могут "жить" на прямой?  Все ли фигуры, "живущие" на прямой (плоскости), смогут "жить" на плоскости (в пространстве)?

Но в удивительном мире геометрии существует фигура, которая вообще не имеет измерений. Это точка. А вот "жить" она может где угодно.

Много загадок и неожиданностей таит в себе геометрия. Все вы привыкли работать в тетрадях и знаете, что тетрадный листок - это часть плоскости, если, конечно, вы его не измяли, причем у него есть две стороны, которые вы с успехом используете. И даже помятый листок имеет две стороны. Изучив находящиеся вокруг нас поверхности: классной доски, крышки стола, ткани, из которой сделана ваша одежда, мы убеждаемся, что все эти поверхности имеют две стороны, условно можно сказать - лицевую и изнаночную, и поь другому не может быть!  Однако это не так…

Возьмем две полоски бумаги, шириной 3 см и склеим из них два кольца: первое - простое, а второе - перекрученное. Представим, что мы поместили муравья на наружную поверхность простого кольца. Если ему не давать возможности переползать через край кольца, то он никогда не попадет с наружной стороны на внутреннюю. А теперь разместим его на перекрученном кольце и предоставим возможность двигаться вдоль бумажной дорожки. Пусть муравьем будет грифель вашего карандаша. Вы получили неожиданный результат. Не переползая через край полоски, муравей побывал на "обоих" сторонах кольца.

Этот опыт провел в середине прошлого века немецкий астроном и геометр Август Мебиус. Оказалось, что у перекрученного кольца, которое впоследствии стали называть листом Мебиуса, имеется только одна сторона.

Давайте проведем с листом Мебиуса несколько интересных опытов.

Задание 5. Разрежьте простое кольцо ножницами вдоль. Что получилось? Проделайте то же самое с листом Мебиуса и сравните результат.

Задание 6. Склейте лист Мебиуса, шириной 5 см. Что получится, если разрезать его вдоль, отступив от края сначала на 1см, затем на 2см, на 3см, на 4см?

Задание 7. Сделайте два кольца: одно простое и одно перекрученное. Склейте их, продев одно в другое, а затем оба разрежьте вдоль. Каков результат разрезания?

Урок 2.

Параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости.

Параллельные и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека: особенности их взаимного расположения используют в технике, строительстве, искусстве. Теория параллельных прямых занимает одно из центральных мест в геометрии. Именно свойства параллельных прямых определяют свойства плоскости.

Рассматривая основные геометрические фигуры, среди всех углов мы особенно выделяли угол равный 90є. Изобразим прямой угол и продолжим его стороны за вершину. Мы получили две перпендикулярные прямые. Они обладают многими интересными свойствами. Познакомимся с тремя из них:

Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее. Мы выполним этот рисунок с помощью угольника. Если взять точку на прямой, то через эту точку можно провести бесчисленное множество прямых, перпендикулярных данной прямой, причем все эти прямые будут лежать в одной плоскости. (Иллюстрировать это очень легко с помощью листа бумаги на котором через одну точку проведено множество прямых и карандаша, которым нужно проткнуть этот лист бумаги в точке пересечения прямых под прямым углом к плоскости листа.) Две прямые, перпендикулярные на плоскости третьей прямой параллельны. Если бы они пересекались, например в точке С, то мы получили бы треугольник АВС, у которого два угла были бы прямыми, что невозможно.

  А

  С

  В

Задания:

С помощью циркуля и линейки через точку вне прямой провести прямую, параллельную этой прямой.( рис.1)

  А  А1  А

  В  В1  p

  Рис.1  А1  Рис.2

Построить прямую, параллельную данной прямой на заданном расстоянии (35мм) от нее.

Пусть проведена некоторая прямая p и дана точка А вне ее. Для построения перпендикуляра к прямой достаточно с помощью циркуля провести через точку А две окружности (одинаковых или различных радиусов) с центрами на прямой. Вторая точка пересечения этих окружностей и даст нам вторую точку на перпендикуляре (рис. 2)

Мы уже знаем самое важное свойство перпендикуляра: если мы хотим из некоторой точки попасть на прямую кратчайшим путем, то следует двигаться по перпендикуляру, опущенному из этой точки на данную прямую.

В1  С1 

  А1  D1  а  2  1

  4  3

  B  C

  b  6  5

  7  8

  A  D

  Рис.3  Рис.4

Выписать все возможные пары перпендикулярных ребер прямоугольного параллелепипеда. Выписать три четверки параллельных между собой ребер (рис.3) Известно, что угол 1 равен 52є. Найти все остальные углы (рис.4). Параллельными прямыми являются прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. А какие плоскости можно назвать параллельными? Выпишите пары параллельных плоскостей (рис.3) Попробуйте на рис.3 отыскать и выписать пары перпендикулярных плоскостей. А как проверить перпендикулярны или нет стены класса полу? А как бы вы проверили, параллельны ли пол и потолок класса? В строительстве, чтобы проверить вертикальность стен используют отвес - нить с подвешенным на нее тяжелым грузом. Как бы вы воспользовались этим приспособлением?

Урок 3-4.

Прямая и наклонная призмы: изображение, моделирование.

Чтобы получить многоугольник, нужно часть плоскости ограничить прямыми линиями. А если нам потребуется правильный многоугольник: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, то отрезки прямых, соединяющих вершины, мы возьмем равными.

А как нам ограничить часть пространства? Хорошо нам известный прямоугольный параллелепипед - это часть пространства, ограниченная плоскостями. А поскольку у него много граней, мы вправе назвать его многогранником.

Итак, многогранник - это тело, ограниченное плоскостями.

Введем новое понятие. Призма - это многогранник, основания которого равные многоугольники. Призма будет называться прямой, если ее ребра перпендикулярны основаниям и правильной, если она прямая, а ее основания - правильные многоугольники.

  а)  б)  в)  г)

Задание 1. Какие из изображенных многогранников являются призмами, прямыми призмами, правильными призмами?

Задание 2. Является ли прямоугольный параллелепипед призмой, прямой призмой, правильной призмой?

Задание 3. Какое название вы бы предложили для призм, изображенных на рисунках а) и г)?

Боковые грани прямых призм представляют собой прямоугольники, а вот боковые грани наклонных призм представляют собой еще неизвестные нам фигуры. Нетрудно убедиться в том, что противоположные стороны этих фигур равны и параллельны. Такие фигуры называются параллелограммами.

Давайте определим теперь по всем "геометрическим" правилам прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед - это призма, у которой основания параллелограммы. Параллелепипед называется прямоугольным, если он - прямая призма и его основания - прямоугольники.

Задание 4. Изобразить прямоугольный параллелепипед. Можно ли его назвать правильной призмой? А какой из хорошо с детства вам известных многогранников можно назвать правильной призмой? (куб).  А какой прямоугольный параллелепипед можно было бы назвать правильной призмой?

Чтобы хорошо представить себе все о чем мы говорили, изготовим модель правильной шестиугольной призмы со стороной основания 30 мм и высотой 60 мм.

Для этого прежде всего надо научиться изображать правильный шестиугольник. Начертите с помощью циркуля окружность произвольного радиуса. Не меняя раствора циркуля, поставьте его ножку в любую точку полученной окружности и сделайте засечки в обе стороны. Затем, переставляя ножку циркуля в полученные точки, продолжайте делать засечки на окружности до тех пор пока она не разобьется ими на шест равных частей. Соедините полученные точки. Если вы все сделали аккуратно, то получите правильный шестиугольник.

Теперь приступим к развертке.  30мм

  30мм  30м

Окрасьте основания одним цветом,

а боковые грани другим.  30мм  30мм

Склейте с помощью скотча места 

соединений и модель готова.  30мм  30мм  30мм  30мм  30мм  30мм

  60мм

Задание 5. Вспомнив, как с помощью

циркуля строится равносторонний

треугольник, построить развертку и

сделать модель правильной треуголь-

ной призмы высотой 85мм и стороной

основания 60мм.