Задания на контрольную работу (стр. 4 )

4) (cos+isin).

Пологая k=0, 1, 2, найдем

k=0; =(cos+isin); 

k=1; =(cos+isin); 

k=2; =(cos+isin).

16. Представить числа Z1= -2+2, Z2=1-I  в тригонометрической форме и вычислить следующие выражения:

1) Z2Z1;  2) ;  3) ;  4) .

17. Используя показательную форму комплексного числа, выполнить указанные действия:

1) Z1Z2;         2) ;        3) ;                4) ,

если Z1=1-I;  Z2=1+.

Решение:

Запишем комплексные числа Z1 и Z2 в показательной форме:

Z1=e; Z2=2e.

Отсюда, используя правила действий над комплексными числами, заданными в показательной форме, получим:

1) Z1*Z2=2e^=2e^

2) =e^=e^

3) =()4e^=4e^

4) =e^()I,

где k=0, 1, 2, 3.

18. Даны числа   Представив их в показательной форме, найти.

19. Используя показательную форму комплексного числа, выполнить следующие действия:

    ;  .

20. Выполнить действия:

 

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 1-го порядка.

  21. Найти интегралы:

  1)   2)  

  3) 4)

  5)   6)

Решение:

  1)Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:

 

   

2) Раскрыв скобки, представим подынтегральную функцию в виде суммы, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:

 

  3)

  4) Данный интеграл окажется табличным, если произвести подстановку t=2x

 

  Возвращаясь к старой переменной интегрирования х, окончательно получаем

 

  5) Полагая t=5+x3, получим:

 

  6) Подстановка t=1-2x приводит данный интеграл к табличному:

 

  22. Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

Решение:

  Перенесем второе слагаемое с противоположным знаком вправо и разделим переменные. Для этого поделим уравнение на cos2ysin2y, получим:

 

  Интегрируя обе части данного уравнения, получим:

 

  Вычислив интегралы методом подстановки (t1=ctgx; t2=tgy), получим:

 

  т. к. С - производная постоянная, заменим С на С/2. Тогда , это и есть общее решение уравнения.

  23. Найти общее решение уравнений:

   

  24. Найти частное решение уравнения y’sin2x*ln y + y = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(/4)=1.

Решение:

  Найдем общее решение данного уравнения. Для этого разделим переменные:

   

  Или   

  Интегрируя, получаем: 

  Это и есть общее решение данного уравнения. Используя начальные условия y(/4)=1, подставляем в выражение общего решения заданные значения переменных x=/4; y=1 – тем самым определяем значение С.

   

  Откуда С=-1. Итак, искомое частное решение:  

  25. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.

   

3. Определители и системы линейных уравнений.

  26. Вычислить определитель, разложением по элементам первой строки:

Решение: