КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
учебных занятий по дисциплине «Дифференциальная геометрия и топология»
для направлений подготовки: «Математика и компьютерные науки», 4 курс 7 семестр
Трудоемкость — 3 зачетные единицы, лекций — 2 часа в неделю, практических занятий — 2 часа в неделю, 17 недель.
Виды и содержание учебных занятий | ||||
Неделя | Лекции | Часы | Практические занятия | Часы |
1 | Методы и задачи дифференциальной геометрии. Разделы дифференциальной геометрии. Области применения дифференциальной геометрии. Преобразование координат. Криволинейные координаты. Полярные, цилиндрические, сферические, эллиптические и параболические координаты. Коэффициенты Ламе. Регулярная система координат. Преобразование дифференциальных операторов при замене координат. | 2 | Повторение необходимых сведений из смежных дисциплин. Примеры групп преобразований, колец, полей, метрических, линейных, нормированных, евклидовых пространств, ортогональность и ортонормированность векторов, матрица Грама, билинейные и квадратичные формы. | 2 |
2 | Евклидово пространство. Кривые в евклидовом пространстве. Длина дуги. Натуральный параметр. Касательный вектор к кривой. | 2 | Преобразование координат. Криволинейные координаты. Полярные, цилиндрические, сферические, эллиптические и параболические координаты. Коэффициенты Ламе. | 2 |
3 | Преобразование координат касательных векторов. Градиент и ковекторы. Преобразование координат векторов и ковекторов. Метрика (метрический тензор). Преобразование метрического тензора при замене координат. | 2 | Преобразование дифференциальных операторов при переходе к криволинейным координатам. Группы преобразований. | 2 |
4 | Понятие римановой метрики. Индефинитные метрики. Псевдоевклидовы пространства. Пространство Минковского. Геометрия на сфере. Геометрия на псевдосфере. | 2 | Евклидово пространство. Кривые в евклидовом пространстве. Длина дуги. Натуральный параметр. Касательный вектор к кривой. Преобразование координат касательных векторов. | 2 |
5 | Понятие многообразия. Примеры. Гладкие отображения. Диффеоморфизм. Координаты на многообразии. Карты и атлас. Задание многообразия уравнениями. | 2 | Градиент и ковекторы. Преобразование координат векторов и ковекторов. Примеры векторов и ковекторов. Вычисление компонент метрического тензора для различных криволинейных координат. Преобразование метрического тензора при замене координат. | 2 |
6 | Кривая на многообразии. Касательные и кокасательные векторы (1-формы) к кривой. Касательное и кокасательное расслоения. | 2 | Различные римановы метрики. Индефинитные метрики. Примеры псевдоевклидовых пространств. Трёхмерное пространство Минковского. Преобразования Лоренца. Геометрия на сфере. Геометрия на псевдосфере. | 2 |
7 | Векторное поле и поле 1-форм. Производная Ли. Подмногообразия. | 2 | Контрольная работа №1 | 2 |
8 | Группы Ли. Алгебры Ли. Примеры. | 2 | Примеры многообразий. Задание карт и атласов на шаре, торе и т. д. Задание многообразия уравнениями. | 2 |
9 | Группы Ли. Алгебры Ли. (продолжение) | 2 | Примеры кривых на многообразии. Преобразование векторных и ковекторных полей. Нахождение производной Ли от функции, вектора и ковектора. Примеры подмногообразий. | 2 |
10 | Вектор и ковектор. Закон преобразования координат. Определение тензора. Примеры тензоров. Валентность, нижние и верхние индексы. Обозначения Эйнштейна. Взаимосвязь матричного и тензорного формализма, преимущества последнего. | 2 | Группы Ли. Алгебры Ли. Примеры | 2 |
11 | Алгебра тензоров. Линейные операции с тензорами. Тензорное произведение. Метрический тензор. | 2 | Контрольная работа №2 | 2 |
12 | Симметричный и кососимметричный тензор. Поднятие и опускание индексов. Операция свертки. | 2 | Примеры тензоров. Матричная и тензорная записи. Обозначения Эйнштейна. Упражнения для освоения тензорной нотации. Алгебраические действия над тензорами. Тензорное произведение. | 2 |
13 | Понятие тензорного поля на многообразии. Примеры тензорных полей. | 2 | Метрический тензор в различных координатных системах. Свойства симметричных и кососимметричных тензоров. Поднятие и опускание индексов. Операция свертки. | 2 |
14 | Связанность и ковариантное дифференцирование. Определение и свойства аффинной связанности. | 2 | Понятие тензорного поля на многообразии. Примеры тензорных полей. | 2 |
15 | Римановы связанности. Геодезические и тензор кривизны. Координатное и инвариантное определения тензора кривизны. | 2 | Связанность и ковариантное дифференцирование. Аффинная связанность. Римановы связанности. Преобразование символов Кристоффеля. | 2 |
16 | Алгебраические свойства тензора кривизны. Основная задача топологии. Инварианты преобразований. | 2 | Геодезические и тензор кривизны. Координатное и инвариантное определения тензора кривизны. Алгебраические свойства тензора кривизны. | 2 |
17 | Изотопия, гомотопия, гомология. Многообразия высших размерностей. | 2 | Контрольная работа №3 | 2 |
Итого | 34 | 34 |
Разработчики:
к. ф.-м. н., доцент кафедры прикладной информатики
и теории вероятностей
Зав. кафедрой прикладной информатики
и теории вероятностей, проф.
